Pravidlá pre letný semester 2009/2010

Riešenia sa prijímajú do 14. mája (mailom alebo na papieri). Číslo v zátvorke za číslom úlohy je počet správnych riešení, ktoré ste už odovzdali. Ak odovzdáte (správne vyriešenú) úlohu v momente, keď je toto číslo menšie ako 3, dostanete navyše k bodom z cvičení toľko bodov, koľko je napísané pri úlohe.

16. marec

1. (3)

Dokážte bez použitia Lebesgueovho kritéria, že funkcia

$f(x)= \begin{cases} \frac1q,&\text{ak $x=\frac pq$, kde $p$, $q$ sú nesúdeliteľné,}\\ 0,&\text{ak $x$ je iracionálne} \end{cases}$

je riemannovsky integrovateľná na intervale $\langle0,1\rangle$ , teda dokážte, že horný Riemannov integrál sa rovná dolnému.
Za túto úlohu dostanete 100 bodov.

2. (3)

Určte

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n.$

Za túto úlohu dostanete 100 bodov.

3. (4)

Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne z útvaru ohraničeného parabolou $y=x^2$ a priamkou $y=x$ na intervale $\langle0,1\rangle$ rotáciou okolo priamky $y=x$ .
Za túto úlohu dostanete 100 bodov.