Milí riešitelia,
tento rok sme si pre vás pripravili špecialitku, Adventný kalendár úloh. Každý deň adventu zverejníme jednu úlohu.
Pravidlá. Úlohy zverejňujeme každé ráno o $8:00$, ako atómové hodiny. Úlohy riešte samostatne. Riešenie úlohy je zväčša číslo, ak nie bude v úlohe bližšie povedané v akom formáte to odovzdávajte. Odovzdávať môžete úlohy kým ich nemáte správne vyriešené.
Bodovanie. Za každú správne vyriešenú úlohu je 1 bod. Za každú správne vyriešenú úlohu do $24$ h od zverejnenia sú body 2. Za každú vyriešenú úlohu do $12$ h sú body tri, tj. do $20:00$. Koeficienty nehrajú úlohu, riešiť môže každý kto má chuť a čas. (je to "Open" môže riešiť naozaj každý)
Obťažnosť. Na rozdiel od iných súťaží v tejto si budete môcť prispôsobiť obťažnosť svojmu vkusu (tak trochu kolektívne). Pri odovzdávaní je možnosť povedať, že či úloha bola pre vás príliš ľahká, ťažká či akurát. Ak bude veľa odpovedí jedného typu upravíme obťažnosť nasledujúcich dní.
Všeobecné pokyny. Zadania ako aj výsledkovkú listinu aj link na odpoveďový hárok nájdete na drive.
Ak máte akékoľvek otázky k úlohám alebo iné obráťte sa na vedúcich, špeciálne na Mareka: marek.murin@trojsten.sk alebo na trojstenovom discorde "M&M".
Zadania
Zadanie 26. Dňa
Rišo zorganizoval pre ďalších trinástich vedúcich KMS štedrú večeru. Pod stromček im kúpil veľký kýbeľ domino-kociek. Uprostred štedrej večere sa Veronika tajne vytratila k stromčeku. Všimla si, že ak by jednu domino-kocku zahodia, dali by sa zvyšné rozdeliť na trinásť rovnakých častí. Jednu teda zahodila a zobrala si jednu trinástinu zo zvyšku. O chvíľu na to mal rovnaký nápad aj Adam Kňažko. Aj Kubko odišiel od polievky si zobrať nejaké kocky. Nasledoval ho Dominik, ktorý sa bál, že skončí s holými rukami. Marekov inštinkt mu vravel, že sa niečo deje, preto rovnako spravil aj on, navyše tie čo si zobral boli oranžové. Kubkovi sa málilo, tak sa vytratil zobrať si ešte ďalšie kocky. Hneď na to sa vytratil Jožo a s diabolským smiechom si zobral kocky aj on. Aj Matúš si brúsil zuby na kocky a spravil rovnako. Veronika je predsa len nejaká tá dáma, tak svoje tajné vplíženie zopakovala. To isté spravila aj Aňa vyhovárajúc sa na to, že je tu nová a stratila sa po ceste. Ákos bol smutný, lebo na večeru nebol rezník, tak sa vybral ukradnúť nejaké kocky aj on. Števka si tiež pomyslela, že by bolo fajn si nejaké kocky zobrať dopredu. Potom sa Aňa rozhodla, že svoju výpravy predsa len ešte raz zopakuje. Ku koncu sa vybral po kocky aj Ondro vyhovárajúc, že ide ladiť gitaru. Potom si odskočila aj Lucy. Keď to zbadal Kubko, povedal si, že svoju výpravu musí zopakovať ešte raz aj on. Po dojedení sa ešte vyhovoril Matúš, že potrebuje špáradlo a zopakoval to, čo všetci. Keď všetci dojedli štedrú večeru a vybrali sa pod stromček, zistili, že počet domino-kociek je tiež deliteľný trinástimi po odstránení jednej kocky. Koľko najmenej domino-kociek mohli vedúci dostať pod stromček?
Zadanie 25. Dňa
Vodka dostal pod stromček okrem iného aj stavebnicu z chémie. Zo stavebnice hneď vysypal $2021$ uhlíkov a niekoľko vodíkov a niekoľko spojovníkov. Vodka samozrejme nechce skladať cykli, však sú vianoce a stromčeky sú v móde... Koľko najmenej vodíkov musel vodka vysypať aby mohol postaviť validnú molekulu, ak ešte neprišiel na to ako postaviť násobnú väzbu? \textit{Uhlík má práve štyri väzby a vodík má práve jednu väzbu.}
Zadanie 24. Dňa
Robber-ta bola prichytená pri čine. Tento krát sa rozhodla ukradnúť celú knihu. V knižnici na poličke $2020$ kníh označených $A,B,C\dots,Z,AA,AB\dots$ v nejakom poradí. Robber-ta chcela ukradnúť knihu s písmenom takým, že sa v knižnici to písmeno vyskytuje najviackrát. Ak sú také písmená viaceré môže sa ulakomiť aj na knihu s kombinaciou tychto písmen. (nie však duplicitne teda AA si nevyberie) Koľko kníh má na výber? % \textit{abeceda má 26 písmen.}
Zadanie 23. Dňa
Kika má pole $F=1\mathrm{ha}$. Na poli pestuje zemiaky a pšenicu. Na vypestovanie jedného kilogramu zemiakov potrebuje $2\mathrm{m}^2$ pôdy a $3\mathrm{m}^3$ vody. Na vypestovanie jedného kilogramu pšenice potrebuje Kika $3\mathrm{m}^2$ pôdy a $1 \mathrm{m}^3$ vody. Kikina studňa vyprodukuje $10000$ kubíkov vody. Navyše Kika vie predať zemiaky za 1€ na kg a pšenicu za 0.2€ na kg. Koľko najviac môže Kika zarobiť?
Zadanie 22. Dňa
V tabuľke $3\times 3$ sedí Jerry v ľavom dolnom políčku. Jej úlohou je dostať sa ku kusu syra v pravom hornom políčku, pričom sa môže premiestňovať len na vedľajšie políčko toho, na ktorom práve stojí. Koľkými spôsobmi môžeme vyplniť niektoré (prípadne žiadne) z neobsadených políčok prekážkami tak, aby sa Jerry stále vedela dostať k syru?
Zadanie 21. Dňa
Trojuholník $ABC$ s $|AB|=|AC|=5\mathrm{m}$ a $|BC|=6\mathrm{m}$ je čiastočne naplnený Polievkou. Keď trojuholník leží na strane BC, Polievka siaha do výšky $3\mathrm{m}$. Do akej výšky siaha Polievka ak trojuholník leží na strane $AB$?
Zadanie 20. Dňa
Lucy si našla pod stromčekom takýto darček. Darček má tvar hranola (má to dve rovnobežné, zarovnané podstavy, základne, a nejaké steny spájajúce príslušne strany základne) s podstavou rovnoramenného lichobežníka s rozmermi základní dĺžky $8$ a $18$. Naviac sa do darčeka zmestí vianočnâ gula, a to tak, že sa presne dotýka všetkých šiestich stien. Aký je objem darčeka?
Zadanie 19. Dňa
Dominik má knihu očíslovanú $1,2,3,\dots $, pričom strany na prvom liste sú číslované $1$ a $2$. Veď viete kto mu vytrhol stránku o počítanií aritmetických postupností. Dominik sčítal všetky čísla, ktoré videl a výsledok vám prezradil: $2020$. Zistite koľký list mohol veď viete kto vytrhnúť. Nájdite všetky možnosti.
Zadanie 18. Dňa
Ákoš má pod stromčekom šesť darčekov. V každom má niekoľko rezníkov v každom iný počet. Víla mu poradila, že počet rezníkov v každom darčeku delí počet rezníkov vo všetkých darčekoch dokopy. Na koľko najmenej rezníkov sa môže Ákoš tešiť?
Zadanie 17. Dňa
Oranger bojuje s vianočnou chmárou vytvorenou veď viete kým. Vianočná chmára si privolala nečakané posily. Celú armádu vianočných $2D$ stromčekov. ($2D$, že z pohľadu Orangera sú vrcholy v rovine a dá sa definovať doprava, dolava, hore a dole) (strom je graf ktorý nemá cyklu) Oranger si všimol, že tieto stromčeky nie sú hociaké. Sú to binarne stromy s najviac $15$ listami (vrchol s lrave jednym susedom), každá možnosť sa v armáde vyskytuje práve raz. (symetricky otočené považujeme za rôzne, ak to neni náhodou to isté) (trojlisté stromy teda videl práve dva) Nebezpečnosť stromu sa udáva následovne: Každému rozvetveniu (tj. vrchol s viac ako jedným susedom) priradíme prirodzené číslo, ktoré je súčinom počtu listov dolava od rozvetvenia a doprava od rozvetvenia. (Aby sa predišlo nedorozumeniu počítané listy musia byť potomkami tohto rozvetvenia) a vyberie sa rozvetvenie s najväčším číslom. Na to aby túto armádu Oranger porazil musí vedieť koľko najnebezpečnejších stromov existuje (stromov s číslom u nejakého rozvetvenia, ktoré je najväčšie spomedzi čísel rozvetvení všetkých stromov v armáde). Pomôžte mu.
Zadanie 16. Dňa
Milady dostala od nápadníka náhrdelník s ozdobou. Ozdoba má tvar kruhového pliešku s polomerom $R$, z ktorého bol vyrezaný kruh s polomerom $\frac{1}{2}R$, tak že kruhy majú spoločný vnútorný dotyk. O koľko sa posunulo ťažisko tejto ozdoby?
Zadanie 15. Dňa
Zeus si prvú adventnú nedeľu zobral svoj adventný veniec, ktorý je zhodou okolností pravidelný dvadsaťšesťuholník $S_1, S_2 \dots S_{26}$ (číslovaný v smere hodinových ručičiek) a jednu náhodnú sviečku zapálil. Každé ďalšie ráno potom sfúkol zapálenú sviečku a zapálil sviečku o toľko sviečok ďalej (po smere hodinových ručičiek), aké bolo číslo sviečky, ktoré práve sfúkol (napríklad sfúkol sviečku $S_3$ a zapálil sviečku $S_6$, alebo sfúkne $S_{25}$ a zapáli $S_{24}$). Teraz je zapálená sviečka $S_{26}$. Aká bola pravdepodobnosť, že sa niečo také stane?
Zadanie 14. Dňa
Mišo našiel na trhu tri realne darčeky $a$, $b$, $c$, a tie sú predávanné v dvoch balíkoch $a-7b+8c=4$ a $8a+4b-c=7$. Aké hodnoty môže nadobúdať balík $a^2-b^2+c^2$?
Zadanie Dňa N
Matúš objavil algebrogram o Náboji. Keďže na Náboj nejde, necháva ho pre vás. V algebrograme
$$WE \cdot LIKE = NABOJ$$
rôzne písmená zastupujú rôzne číslice. Okrem toho vieme, že $\operatorname{S}(WE)=11$, $\operatorname{S}(LIKE)=23$ a $\operatorname{S}(NABOJ)=19$, kde $\operatorname{S}(n)$ označuje ciferný súčet čísla $n$. Žiadne z týchto čísel nemôže začínať nulou. Nájdite 5-ciferné číslo $NABOJ$.
Zadanie 12. Dňa
Zadanie 11. Dňa
Ondro si našiel pod stromčekom $2020$ darčekov. V každom sú štyri farbičky. Vieme, že dokopy má pod stromčekom $2020$ červených, $2020$ modrých, $2020$ zelených a $2020$ ornažových farbičiek. Najmenej koľko darčekov musí otvoriť aby mal istotu, že bude mať z každej farby aspoň jednu farbičku?
Zadanie 10. Dňa
Vianočné rozprávky a geometria nejdú k sebe ako geometria a Juro. Možno je to tranzitívne. Juro má perník tvaru kosoštvorca $ABCD$, na ktorom sú čerešničky (body) $M$, $N$, rôzne od čerešničiek $A$, $B$, $C$, a ležia postupne na úsečkách bielkovej polevy $AB$, $BC$ tak, že $DMN$ je rovnostranný trojuholník a $|AD|=|MD|$. Pmôžte Jurovi zistiť veľkosť uhla $ABC$ (v stupňoch).
Zadanie 9. Dňa
Škriatok Mimi strávili dovolenku v Anglicku. Každý deň buď pršalo iba dopoludnia, iba popoludní, alebo pršalo celý deň. Mimi mal počas dovolenky $13$ dní, keď nepršalo po celý deň. Počas $11$ dní pršalo dopoludnia a $12$ dní pršalo popoludní. Ako dlho bol na dovolenke?
Zadanie 8. Dňa
Žaneta dostal na Mikuláša adventný kalendár s $24$ okienkami, v každom okienku je samozrejme úloha. Každý deň (vrátane Mikuláša) vypočíta jednu alebo dve úlohy. Nikdy nevypočíta úlohu s vyšším číslom ako je deň a navyše vieme, že 12.12. posledný krát spočítal dvojicu úloh. Koľkými možnými spôsobmi mohol zvoliť poradie počítania úloh? Edit: úlohy vypočíta všetky. Záleží iba na poradí úloh.
Zadanie 7. Dňa
Miloš ide variť koláčiky, konkrétne má $2020$ receptov a chce upiecť všetky. Na každý recept potrebuje určité množstvo múky. Napríklad na recept $r_1$ potrebuje $2020 \mathrm{kg}$. Požiadavky múky na každý ďalší recept $r_n$ zistí podľa následujúceho vzorca: $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}=n^{2} \cdot r_{n}$ pre každé $n \geq 1$. Pomôžte Milošovi nájsť celkovú spotrebu múky.
Zadanie 6. Dňa
Fánka robila hračku pre deti. Vyvŕtala cez kocku so stranou dĺžky $5$ centimetrov v každom smere štyri rovnako veľké $1\times 1$ chodbičky, ako na obrázku. (obrázok nájdete v príslušnom pdf na drive ) To čo z kocky ostalo, chce ofarbiť červenou farbou (vrátane stien chodbičiek). Koľko centimetrov štvorcových musí ofarbiť?
Zadanie 5. Dňa
Aňa rozdelila niekoľko tuniakov do troch akvárií. V prvom akváriu je o šesť tuniakov menej ako v zvyšných dvoch akváriach dohromady. Podobne, v druhom akváriu je o desať tuniakov menej ako v zvyšných dvoch akváriach dohromady. Koľko tuniakov je v treťom akváriu?
Zadanie 4. Dňa
Pedro je milovník kakaovníkov. Na stole je $144$ kakaových bôbov rozdelených aspoň na dve kôpky. V každej kôpke sú aspoň dva bôby. Ak zo všetkých kôpok zoberieme jeden bôb a položíme ho na prvú kôpku, tak bude na všetkých rovnako veľa bôbov. Koľko kôpok mohlo byť pôvodne na stole? Zistite súčet všetkych možností.
Zadanie 3. Dňa
Škriatok Sassone začal robiť hračku z obdĺžnikového listu papiera. Keď ho prehnol tak, aby sa dva (uhlopriečne) protiľahlé rohy dotýkali, vznikol mu ohyb. Platí, ze dížka ohybu sa rovná dížke dlhšej strany papiera. Aký je pomer dĺžky dlhšej strany ku dĺžke kratšej strany tohoto papiera?
Zadanie 2. Dňa
Na severnom póle majú vlastnú stupnicu teploty, snehové vločky. $1$ snehová vločka sa nadobúda pri minimálnom objeme vody, $3,98^\circ \mathrm{C}$, a sedemnásta vločka pri absolútnej nule, tj. $0\mathrm{K}$. V Amerike sa merajú teploty v stupňoch Fahrenheitových. Prepočet z Fahrenheita na Celzia je daný vzorcom $f=\frac{9}{5}c + 32$. Na štedrý deň na severnom póle hlásia ukrutných $4\rm{SV}$. Sob Diego pochádza z Ameriky, a preto, nevie na akú teplotu sa vlastne má pripraviť. Koľko to je v stupňoch Fahrenheita?
Zadanie 1. Dňa
Šialený vedec D. V. vo svojom laboratúriu má vzorku baktérií. Keďže sa venuje svojmu diabolskému plánu na pokazenie Vianoc. tak sa svojim baktériam nevenuje a každý deň umrie tretina živých baktérií (zaokrúhlené na dol). Dnes má vzorka $1000000$ baktérií. Koľko baktérií bude mať vzorka na Štedrý deň?
Čas poslednej úpravy: 24. december 2020 8:29