Geometria

Pri tejto geometrickej úlohe je potrebné využívať vlastnosti uhlov v kružniciach (obvodové, protiľahlé uhly). Pokiaľ si sa s nimi ešte nestretol, odporúčame ti pozrieť si článok Počítanie uhlov

Zadanie úlohy

Majme trojuholník $ABC$. Označme $I$ stred jeho vpísanej kružnice a $Y$, $Z$ postupne body dotyku jeho vpísanej kružnice so stranami $AC$, $AB$. Priesečník priamok $CI$ a$YZ$ označme $P$. Dokážte, že body $B$, $I$, $P$, $Z$ ležia na jednej kružnici.

Pokus o riešenie

Budeme používať štandardné označenie veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$. Trojuholník $AYZ$ je rovnoramenný, lebo úsečky $AY$ a $AZ$ sú dotyčnice k jednej kružnice z toho istého bodu. Preto uhol $AYZ$ má veľkosť $90^\circ - \alpha/2$ a jeho susedný uhol $ZYC$ má veľkosť $90^\circ + \alpha /2$. Keďže $CI$ je os uhla $BCA$, vieme, že $|\angle PCY| = \gamma / 2$.

Pozrime sa teraz na trojuholník $PCY$. Poznáme v ňom dva vnútorné uhly, preto môžeme dopočítať tretí: $$|\angle CPY| = 180^\circ - \gamma /2 - (90^\circ + \alpha /2) = \beta / 2 = |\angle IPZ|.$$ Vidíme, že uhly $IPZ$ a $IBZ$ majú rovnakú veľkosť a oba sa nachádzajú v jednej polrovine vzhľadom na priamku $IZ$. Preto podľa vety o obvodovom uhle body $I$, $Z$, $P$, $B$ ležia na jednej kružnici, čo sme mali ukázať.

Rozbor riešenia

Riešenie vyzerá na prvý pohľad bezchybne. Napriek tomu by v KMS dostalo približne 7 bodov. Kde je problém? V našom riešení tvrdíme, že uhly $CPY$ a $IPZ$ majú rovnakú veľkosť. Je to zjavné, lebo polpriamky $PC$, $PI$ a taktiež polpriamky $PY$ a $PZ$ sú totožné. Avšak pozrime sa na nasledovný obrázok.

Uhly $CPY$ a $IPZ$ tu rozhodne nie sú totožné, sú to predsa susedné uhly! V našom riešení tvrdíme, že $|\angle IPZ| = \beta/2$, ale to vo všeobecnosti neplatí!

Väčšinu geometrických úloh riešime tak, že si nakreslíme obrázok a postupne v ňom hľadáme, ako sa dopracovať k riešeniu - pri tejto úlohe počítame uhly. Avšak obrázok môže vyzerať aj inak ako ten náš. Niektoré body môžu ležať na iných miestach, v inom poradí na priamkach, čo spôsobí, že veľkosti niektorých uhlov sa zmenia. Pri riešení geometrických úloh si potrebujeme rozmyslieť, ako rôzne môže vyzerať obrázok a vyriešiť ju pre všetky možné polohy bodov.

Vzorové riešenie

Budeme používať štandardné označenie veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$. Trojuholník $AYZ$ je rovnoramenný, lebo úsečky $AY$ a $AZ$ sú dotyčnice k jednej kružnice z toho istého bodu. Preto uhol $AYZ$ má veľkosť $90^\circ - \alpha/2$ a jeho susedný uhol $ZYC$ má veľkosť $90^\circ + \alpha /2$. Keďže $CI$ je os uhla $BCA$, vieme, že $|\angle PCY| = \gamma / 2$.

Pozrime sa teraz na trojuholník $PCY$. Poznáme v ňom dva vnútorné uhly, preto môžeme dopočítať tretí: $$|\angle CPY| = 180^\circ - \gamma /2 - (90^\circ + \alpha /2) = \beta / 2 .$$

Doterajšie úvahy platia v každom trojuholníku $ABC$. Ďalej rozlíšime tri možné polohy bodu $P$ na priamke $YZ$.

Prípad 1. Bod $P$ leží mimo úsečky $YZ$. Vtedy sú uhly $CPY$ a $IPZ$ totožné. Platí teda $|\angle IPZ| = |\angle IBZ| = \beta / 2$ a body $B$, $P$ ležia v jednej polrovine vzhľadom na úsečku $IZ$. Preto podľa vety o obvodovom uhle ležia body $I$, $Z$, $P$, $B$ na jednej kružnici.

Prípad 2. Bod $P$ je vnútorným bodom úsečky $YZ$. V tomto prípade sú uhly $CPY$ a $IPZ$ susedné, preto $|\angle IPZ| = 180^\circ - \beta / 2$. Vidíme, že súčet protiľahlých uhlov $IPZ$ a $IBZ$ štvoruholníka $BIPZ$ je $180^\circ$. Preto body $B$, $I$, $Z$, $P$ ležia na kružnici.

Prípad 3. Bod $P$ splýva z bodom $Z$. Body $B$, $I$, $Z$, $P$ sú teda vlastne 3 rôzne body neležiace na jednej priamke a tie ležia na kružnici vždy.

Rozobratím všetkých možných polôh sme ukázali, že body $B$, $I$, $Z$, $P$ ležia na kružnici pre každý trojuholník $ABC$.

Poznámky

Môžeme si všimnúť, že riešenia pre jednotlivé polohy bodov sa drasticky nelíšia. Niektoré uhly zmenili svoju veľkosť na veľkosť ich susedného uhla a dokazovanie toho, že 4 body ležia na kružnici sme museli použiť iné tvrdenie. Preto keď úlohu vyriešime pre jednu konfiguráciu bodov, doriešiť zvyšné konfigurácie je väčšinou jednoduché.