Úloha 1

Čo nám hovorí informácia o počte napravosediacich susedov králikov? Počet králikov celkovo. A čo o troch zo štyroch sysľov? Že najviac jeden syseľ susedí s iným sysľom.

Úloha 2

Koľko rôznych pozícií môžu zvieratká zaujať, ak je len jeden podstavec? Teraz vieme ku každej pozícii dodať jeden rozdeľovač. Tie zvieratká, čo sú pred rozdeľovačom, sú na modrom podstavci a zvieratká za rozdeľovačom sú na červenom podstavci. Na koľko rôznych miest vieme dať rozdeľovač v každej možnej pozícii?

Úloha 3

Dokreslite si trojuholník $ABF$ podobný s trojuholníkom $DBC$ tak, že bod $F$ je v rovnakej polrovine ako bod $C$. Ukážte, že $AC$ a $BE$ sú tažnice v tomto trojuholníku.

Úloha 4

Dokážte, že nemôžete mať v prvočíselnom rozklade čísla $n$ nepárne prvočíslo. Stačí si uvedomiť, že číslo $2$ nie je vlastným deliteľom čísla $m$.

Úloha 5

Na koľko častí rozdelí jeden trojuholník nekonečný papier? Pridáme ďalší trojuholník. Na koľko najviac častí vie rozdeliť prvý trojuholník a zvyšok nekonečného papiera? Pridáme ďalší trojuholník. Na koľko častí vie rozdeliť časť, v ktorej je len prvý trojuholník, časť, v ktorej je len druhý trojuholník, časť kde je prvý aj druhý trojuholník a zvyšok nekonečného papiera? Vie rozdeliť všetky? Čo ak pridáme ďalší trojuholník? A ďalší? ...

Úloha 6

Ukážte, že bod $A_3$ je stred oblúka $A_1A_2$ ich spoločnej kružnice. Čo za priamku je potom priamka $AA_3$?

Úloha 7

Nezáleží na poradí, v akom kúzelník máva paličkou Povedzte si na začiatku, ktoré riadky a stĺpce sa použijú, a potom sa pozrite, koľkým políčkam sa zmenila farba. Tento počet má byť čo najmenší. Čo sa s ním stane ak zmeníme počet zmenených riadkov / stĺpcov o $1$?

Úloha 8

Spomínaného deliteľa vieme zapísať ako $kn+1$ a $n^2a-1=(kn+1)(ln-1)$. Stačí už len dokázať, že $k=l$.

Úloha 9

Pozrite sa na štruktúru. Nemôžu byť dve záporné po sebe a ani hodnota nemôže dvakrát po sebe vzrásť. Dá sa to rozdeliť na úseky medzi "lokálnymi maximami". Pre každý úsek platí nerovnosť, ktoré keď sčítame, dostaneme čo treba.

Úloha 10

Označte si $K$ priesečník $BC$ a $\check{S}P$. Skúste dokázať, že $\check SI$ je dotyčnica ku kružnici opísanej trojuholníku $KPI$. Potom to už len vyuhlite.