Úloha 1

Na polpriamke smerujúcej vpravo dole ležia iba druhé mocniny nepárnych čísel.

Úloha 2

Dokážte obrátenú implikáciu.

Úloha 3

Pozerajte deliteľnosť číslami $2$, $3$, $5$, $7$.

Úloha 4

Nakreslite si to do mriežky a farbite si víťazné pozície.

Úloha 5

Kika nech reže cez stred. Potom si uvedomte že dve kolmice prechádzajúce cez stred štvorca vždy rozštvrťujú štvorec na štvrtinky.

Úloha 6

Na políčkach jednej farby môže byť najviac jeden povýšený strelec. Teda ich tam môž byť najviac $15$. Tento počet aj ide dosiahnuť.

povyseny-strelci3.png
Diagonály

Úloha 7

Uvedomte si, že trojuholník $YXB$ má stred kružnice opísanej v bode $P$. Symetricky, že trojuholník $YXC$ má stred kružnice opísanej v bode $Q$.

Úloha 8

Uvažujte $a_i = b_i^2 + c_i$ tak, aby $\big\lfloor \sqrt{a_i} \big\rfloor = b_i$. Nerovnosť stačí dokázať pre $c_i = 2b_i$. Čo sa stane, ak niektoré $a_i$, ktoré nie je najmenšie, zmenšíme o $1$?

Úloha 9

Odpoveď na obe podúlohy je "Áno".

Ak vám to nestačí ako hint k b), tak si rozdeľte perníky na tri skupiny po $6$ perníkov. Z každej skupiny nájdite najťažší a z troch perníkov, čo takto dostane vylúčte najľahší pomocou dvoch vážení.

Úloha 10

Ukážte, že pre dané $n=2^ab$ (kde $b$ je nepárne) je výraz zo zadania deliteľný číslom $10^{2^a}+1$.

Čas poslednej úpravy: 30. október 2018 16:18