Úloha 1

Určite musí byť najväčší spoločný deliteľ všetkých troch čísel aspoň $2$.

Úloha 2

Spočítajte obsahy trojuholníkov alebo to spočítajte goniometriou či rovnoľahlosťou.

Úloha 3

Ide to, šesťuholník zaberie celú jednu stranu a po častiach z dvoch zvyšných.

Úloha 4

Tvrdenie, že zostane pre $17$ ďalších, znamená, že prvému predala $\frac{20}{18}$ syra.

Úloha 5

Napríklad matematickou indukciou.

Úloha 6

Ak by $p_1 = 2,\, p_2 = 3,\, p_3,\, p_4,\ \dots,\, p_n$ boli všetky Jožove prvočísla, tak číslo $(p_3 \cdot p_4 \cdot \dots \cdot p_n)^3 +6$ nie je deliteľné žiadnym Jožovim prvočíslom, čo je spor.

Úloha 7

Uvažujte bod $B'$, ktorý je obrazom bodu $B$ v stredovej súmernosti so stredom $C$. Všimnite si, že $MN$ je stredná priečka trojuholníka $APB'$.

Úloha 8

a) Áno, Jožo povie $52$-krát za sebou všetky karty.
b) Nie. Zoberte výslednú pozíciu, v ktorej piková dáma susedí s prázdnym miestom a spätne zrekunštruujte, ako hra vyzerala.

Úloha 9

Súčin aspoň $4$ za sebou idúcich čísel je deliteľný štyrmi, ale $36^n - 6$ nie je. V prípade $3$ za sebou idúcich čísel sa pozrite na zvyšky po delení siedmimi. V prípade $36^n - 6 = (k - 1)k$ využite vhodné rozloženie na súčin, napr. $(2\cdot6^n-2k+1)(2\cdot6^n+2k-1) = 23$.

Úloha 10

1. Dokážte a použite tetivovosť štvoruholníkov $DBPA$ a $APCE$, aby ste vyúhlili $|\sphericalangle BOC| = 2 |\sphericalangle BAD| ´= 2| \sphericalangle CAE|$.

2. Uvažujte zloženie otočení $r_1 \circ r_2 \circ r_1$, kde $r_1$ otáča $D$ na $B$ cez stred $A$ a $r_2$ otáča $B$ na $C$ cez stred $O$. Uvedomte si o tomto zložení, že je to vlastne posunutie.

3. Kam sa v takomto zložení zobrazení zobrazí bod $A$? Spočítajte to dvoma spôsobmi.