Úloha 1

Úsečka $AB$ aj úsečka $AD$ je polomer kružnice.
Priamka $BD$ pretína rovnobežky $BC$ a $AD$.

Úloha 2

Ktoré čísla môžu byť za číslom $7$?

Úloha 3

Spočítaj vnútorné uhly $n$-uholníka.
Vyfarbi si $n$-uholník ako šachovnicu.

Úloha 4

Rozdeľ si úlohu na prípady, že každý prišiel sám, dvaja prišli spolu a prišli dve dvojice.
Najprv spočitaj, koľko je možností pre výber koní, ktorými chlapci prišli a potom sa zamysli koľkými spôsobmi sa mohli chlapci preusporiadať pre každý prípad.

Úloha 5

Kde na strane $BC$ leží bod $F$?
Čím je bod $F$ špeciálny?

Úloha 6

Dajú sa dosiahnúť všetky obsahy s rovnakou paritou ako $n$, väčšie-rovné $n$, menšie-rovné ako $n^2$.
Na dokázanie, že opačná parita je nedosiahnuteľná, nájdite súvis medzi paritou obvodu a obsahu.

Úloha 7

Sčítajte rovnice, potom sčítajte ich vhodné násobky a zistite hodnotu $\frac1a + \frac1b + \frac1c$ a $a + b + c$. Ak sú všetky čísla kladné, viete úlohu ľahko dokončiť (aj bez sčítavania, stačí na to porovnávanie $a$, $b$, $c$).
Pokračujte ďalej, zistite hodnoty $abc$ a $ab + bc + ca$. Využite Vietove vzťahy.

Úloha 8

Nájdite konštrukciu pre $d=1$, zovšeobecnite na druhé mocniny.
Ak $d$ nie je štvorec, je deliteľné prvočíslom $p$ nepárny počet krát. Sledujte zvyšky modulo $p$.

Úloha 9

Uvedomte si, že $P$ je stred oblúka $BAC$. Nájdite dvojicu podobných trojuholníkov. Zapíšte pomer.

Úloha 10

Vezmite dostatočne veľké číslo tak, aby okolo neho bolo veľa zlomkov z požadovaného intervalu.
Ukážte, že $f$ je lineárna od dostatočne veľkého čísla. Potom použite indukciu smerom k nule.