4. úloha vzorové riešenie

Po chvíľke skúšania a hľadania nadobúdame dojem, že taká šestica neexistuje. Tak sa to pokúsime dokázať. Ak majú mať dve skupiny čísel rovnaký súčin, musia mať oba súčiny v rozklade na prvočísla rovnako veľa toho istého prvočísla. Teda ak v rozklade prvého súčinu máme \(p^k\), potom aj v druhom rozklade musí byť \(p^k\). Preto sa pozrieme na jednotlivé prvočísla.

Najskôr sa pozrieme na prvočísla väčšie ako 6. Ak nejaké prvočíslo \(p > 6\) delí niektoré z čísel \(a,\, a+1,\, \dots,\, a+5\), označme si to číslo \(a+k\), tak delí aj čísla \(a+k-p\) a \(a+k+p\), obe zjavne nepatria medzi \(a,\, a+1,\, \dots,\, a+5\). No a na to, aby sme tú skupinu rozdelili , tak potrebujeme aby \(p\) delilo aj iné číslo ako \(a+k\), aby sme ho mohli dať do druhej skupiny. Keby nedelilo, tak rozklady na prvočísla sa nezhodujú, a teda nemôžu sa súčiny rovnať. To ale znamená, že v prvočíselnom rozklade čísel \(a,\, a+1,\, \dots,\, a+5\) budú len prvočísla 2, 3, 5 a každé musí deliť aspoň dve čísla.

Teraz máme na výber viacero možností, čo s tým. Môžme skúsiť všetky možnosti, ako by mohli prvočísla deliť \(a,\, a+1,\, ...,\, a+5\). Môžme sa taktiež pozerať na zvyšky po delení číslami 2, 3 alebo 5. My sa najprv pozrieme na zvyšky po delení piatimi.

O číslach deliteľných piatimi vieme, že majú byť dve a vieme, že rozdiel dvoch rôznych čísel deliteľných piatimi je aspoň 5. Jediné dve čísla z \(a,\, a+1,\, \dots,\, a+5\), ktoré majú rozdiel 5 sú \(a\) a \(a+5\). Na tento fakt ste prišli viacerí, a to vám mohlo nahintiť deliteľnosť piatimi. Teraz máme čísla \(a+1,\, \dots,\, a+4\). Z nich sú deliteľné dvoma buď \(a+1\) a \(a+3\), alebo \(a+2\) a \(a+4\). Teraz by sme potrebovali, aby tie čísla, čo ostali, boli deliteľné tromi, teda buď \(3 \mid a+2\) a \(3 \mid a+4\), alebo \(3 \mid a+1\) a \(3 \mid a+3\). No ale tieto čísla sú od seba vzdialené o dva, a teda aj keby 3 delilo jedno z nich, nedelí to druhé. Čo znamená, že vždy máme nejaké číslo, ktoré je nedeliteľné ani dvomi, ani tromi, ani piatimi. Môže to byť už len číslo 1 (prvočísla väčšie ako 6 sme už zakázali), ale jediná šestica obsahujúca 1 je 1, 2, 3, 4, 5, 6. A tá zjavne nevyhovuje.

Záver je, že žiadna šestica po sebe idúcich čísel sa nedá rozdeliť do dvoch skupín s rovnakým súčinom.