8. úloha vzorové riešenie

Nerovnosť je symetrická, preto môžeme predpokladať, že \(a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n\). Potom platia nasledovné vzťahy:

\[-a_1 \geq -a_2 \geq \dots \geq -a_n,\] \[s-a_1 \geq s-a_2 \geq \dots \geq s-a_n,\] \[\frac{1}{s-a_1} \leq \frac{1}{s-a_2} \leq \dots \leq \frac{1}{s-a_n}.\]

Postupnosti \[a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n \quad \text{aj} \quad \frac{1}{s-a_1},\, \frac{1}{s-a_2},\, \dots,\, \frac{1}{s-a_n}\] sú obe rovnako zoradené. Teraz si budeme členy týchto postupností navzájom párovať. V rámci páru čísla vynásobíme a výsledky sčítame. Budeme to robiť pre rôzne párovania. Popárovaním najmenších členov spolu, druhých najmenších členov spolu až \(n\)-tých najmenších členov spolu získame ľavú stranu (\(L\)) nerovnosti zo zadania. Navyše podľa permutačnej nerovnosti¹, je \[L=\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}\] maximálny súčet spomedzi popárovaní daných postupností. Využime tento fakt na dokázanie nerovnosti zo zadania. Vytvorme si iné popárovania členov postupností \(a_1\), \(a_2\), \(\dots , a_n\) a \({1}/{(s-a_1)}\), \({1}/{(s-a_2)}\), \(\dots ,\, {1}/{(s-a_n)}\) (ich hodnota bude nanajvýš \(L\)) tak, aby sa po ich sčítaní odstránili menovatele zlomkov.

\[\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_2}{s - a_1} + \frac{a_3}{s - a_2} + \dots + \frac{a_1}{s - a_n}\] \[\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_3}{s - a_1} + \frac{a_4}{s - a_2} + \dots + \frac{a_2}{s - a_n}\] \[\vdots\] \[\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_n}{s - a_1} + \frac{a_1}{s - a_2} + \dots + \frac{a_{n-1}}{s - a_n}\]

Sčítaním týchto \(n-1\) nerovností dostaneme \[\begin{aligned} (n-1)(\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}) &\geq \frac{a_2+a_3 + \dots + a_n}{s - a_1} + \frac{a_1+a_3 + \dots + a_n}{s - a_2} + \dots + \frac{a_1+a_2 + \dots + a_{n-1}}{s - a_n},\\ (n-1)(\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}) &\geq \frac{s-a_1}{s - a_1} + \frac{s-a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{s-a_n}{s - a_n} = n.\end{aligned}\] Predelením \(n-1\) (pre \(n=1\) nerovnosť zo zadania nemá zmysel) dostaneme \[\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \ge \frac{n}{n-1}, \qquad \text {čo bolo treba dokázať.}\]