3. Konštrukcia Milá Srdcu vzorové riešenie

Najprv sa ospravedlníme, za nepresnosť zadania. Bod \(M\) mal byť bod vnútri menšieho z uhlov, ktoré zvierajú polpriamky \(k\) a \(s\). Ak by tam nebol, tak veľmi jednoduchými úvahami by sme dospeli k tomu, že v tom prípade sa body \(K\) a \(S\) s požadovanou vlastnosťou nedajú nájsť.

Poďme sa pozrieť teraz na ten zaujímavý prípad. Označme si ešte prienik polpriamok \(k\) a \(s\) ako \(F\). Chceme, aby body \(K\), \(M\) a \(S\), ležali na jednej priamke a aby \(|KM|=|MS|\). Pozrime sa na trojuholník \(FKS\). Bod \(M\) je stred úsečky \(KS\). Toto je kľúčová informácia, skúsme sa nad ňou zamyslieť. Čo vieme o strede strany v trojuholníku? Poznáme nejaké úsečky, ktoré ním prechádzajú? Čo sú zač úsečky v tomto trojuholníku, ktoré sú jedna rovnobežná so stranou \(FK\), druhá so stranou \(FS\) a taktiež prechádzajú cez bod \(M\)? Sú to stredné priečky trojuholníka \(FKS\). Ich zostrojením nájdeme stredy strán \(FK\) a \(FS\). Nazvime ich postupne \(X\) a \(Y\). Potom už len zostrojíme kružnice \(x\) (so stredom v bode \(X\) a polomerom \(|FX|\)) a \(y\) (so stredom v bode \(Y\) a polomerom \(|FY|\)). Tam, kde majú tieto kružnice prienik s polpriamkami \(k\) a \(s\) (a nie je to bod \(F\)), sa nachádzajú body \(K\) a \(S\).

Ako skonštruovať rovnobežku s polpriamkou \(k\) cez bod \(M\)? Spravíme najprv kružnicu so stredom v bode \(M\), ktorá sa s polpriamkou \(k\) pretne v dvoch bodoch, ktoré označíme \(A\) a \(B\). Tieto body sú od bodu \(M\) rovnako vzdialené, pretože sú na kružnici so stredom v bode \(M\). Nájdeme ešte jeden bod, ktorý je od bodov \(A\) a \(B\) rovnako vzdialený. Stačí, keď spravíme kružnicu so stredom v bode \(A\) a kružnicu so stredom v bode \(B\), obe s rovnakým polomerom dostatočne veľkým na to, aby sa preťali. Body, v ktorých sa pretnú, sú, prirodzene, taktiež rovnako vzdialené od bodov \(A\) a \(B\). Teraz stačí keď ich spojíme a máme kolmicu. Zopakovaním tohto postupu dostaneme hľadanú rovnobežku. Rovnobežku s polpriamkou \(s\) narysujeme podobne.

Iné riešenie

Vieme, že uhlopriečky rovnobežníka sa rozpoľujú. Skúsme teda nájsť body \(K\) a \(S\) tak, aby boli protiľahlé vrcholy tohto rovnobežníka. Keďže bod \(K\) má byť na polpriamke \(k\) a bod \(S\) na polpriamke \(s\), tak čo keby tieto polpriamky aj určovali dve strany tohto rovnobežníka. Potom by bod \(F\) mohol byť ďalším vrcholom rovnobežníka. Nájdime aj posledný vrchol rovnobežníka. Stačí, keď spravíme polpriamku z bodu \(F\), prechádzajúcu cez bod \(M\). Následne nájdeme bod \(P\) na tejto polpriamke, ktorý je od bodu \(M\) rovnako vzdialený ako bod \(F\). Potom už len zostrojíme rovnobežky s polpriamkami \(k\) a \(s\), ktoré prechádzajú bodom \(P\). Body \(K\) a \(S\) sú prienikom týchto rovnobežiek s polpriamkami \(k\) a \(s\). Máme teda rovnobežník \(KPSF\), v ktorom sa uhlopriečky pretínajú v bode \(M\).