4. Kika, Múdry Sedliak vzorové riešenie

Kikino pole sa celé skladá s rovnoramenných trojuholníkov, ktoré vždy susedia najviac dva naraz (nevieme nájsť trojicu trojuholníkov ktoré by spolu všetky susedili stranou, inak by boli vytvorené z uhlopriečok ktoré sa pretínajú). Viacerých z vás to viedlo k jednej z viacerých metód riešenia – buď ste jej pole postupne po jednom rozoberali, alebo skladali. Tento spôsob funguje tak, že si na začiatku všimneme nejakú vlastnosť, a potom sledujeme, či ostane zachovaná aj pri tom, keď postupne pridávame/odoberáme časti. Pozrime sa, ako sa takto dala vyriešiť táto úloha.

Vyskúšame na to ísť sporom, budeme sa snažiť spraviť mnohouholník, ktorý nespĺňa podmienku zo zadania, a ak dokážeme, že sa takýto nedá skonštruovať, dokážeme zároveň, že podmienka platí pre všetky mnohouholníky. Kikino pole môžeme miesto sekania uhlopriečkami začať konštruovať. A to tak, že budeme zaradom k sebe lepiť rovnoramenné trojuholníky. Budeme si dávať pozor, aby bol výsledok vždy konvexný. Napríklad aj tak, že keď k sebe prilepíme dva trojuholníky, budú musieť mať rovnakú spoločnú stranu, cez ktorú budú zlepené.

Začneme teda s jedným trojuholníkom. Je rovnoramenný, môžme si teda povedať, že dve strany majú dĺžku \(a\) a jedna dĺžku \(b\). Super, máme prvé mnohouholníkové pole, i keď mnoho je tu len tri. Takéto pole nevieme rozseknúť uhlopriečkou. Dve strany má rovnaké, spĺňa teda podmienku zo zadania.

Poďme však ďalej, ak chceme dostať štvoruholníkové pole, potrebujeme k prvému trojuholníku prilepiť druhý. Strana, ktorú budú mať spoločnú, bude uhlopriečka výsledného mnohouholníka. Ak nový trojuholník prilepíme k strane s dĺžkou \(b\), vo výslednom mnohouholníku ostanú obe strany s dĺžkou \(a\), čo by zase splnilo zadanie. Skúsime teda nový trojuholník prilepiť k jednej zo strán dĺžky \(a\). Pre nový trojuholník stále platí, že je rovnoramenný. Jednu jeho stranu už poznáme, je dĺžky \(a\), lebo sme ju prilepili o druhú tak dlhú stranu. Zvyšné dve strany nového trojuholníka budú buď rovnaké (napr. dĺžky \(c\)), alebo bude aspoň jedna z nich rovnaká ako tá, ktorú sme lepili, teda dĺžky \(a\).

Výsledný mnohouholník teda bude mať isto jednu stranu \(a\) a jednu stranu \(b\) z pôvodného trojuholníka (jedna strana \(a\) je schovaná vnútri). Z nového trojuholníka bude mať buď dve strany \(c\) (čo rovno potvrdzuje podmienku a túto možnosť nechceme), alebo jednu stranu \(c\) a jednu \(a\) (tu to kazí zase strana \(a\)). Každopádne, v oboch prípadoch ostane platiť podmienka zo zadania, ktorú sa snažíme (neúspešne) porušiť.

Čo môžme spraviť je pridať ďalší trojuholník, čím nám mnoho v mnohouholníku stúpne na päť. Ak chceme zrušiť podmienku zo zadania, musíme ho prilepiť o jednu zo strán ktoré robili problémy (boli v mnohouholníku dva krát). Ako si už ale asi začínate všímať, nezbavíme sa jej úplne kompletne. Z nového trojuholníka budú vo výslednom mnohouholníku dve strany. Ak nemajú byť rovnaké, musí byť jedna z nich rovnaká ako strana, ktorú sme lepili, a teda rovnaká ako strana, ktorá nám minule robila problémy. Tým sa problémová strana zase dostane medzi strany mnohouholníka a zase bude robiť problémy.

Už sme tam, kde sme chceli byť. Nech budeme nové trojuholníky lepiť akokoľvek (a vytvárať tak čoraz viac-uholníky), nikdy sa nezbavíme strany, ktorá je rovnaká ako iná strana v trojuholníku. Z toho teda vyplýva, že podmienka zo zadania bude platiť pre hocijaký mnohouholník zo zadania, ktorý vieme vytvoriť postupným skladaním. Keďže Kikino pole sa musí dať postupne poskladať, musí preň platiť aj podmienka ktorá platí pre všetky takéto mnohouholníky – teda že aspoň dve jeho strany budú rovnako dlhé.