6. Kaša Musí Stuhnúť vzorové riešenie

Potrebujeme ukázať, že nerovnosť platí. Na to si oprášime zopár známych vecí. Pre novších riešiteľov možno neznámych, preto ukážeme, aj ako sa dokazujú takéto veci. Budeme potrebovať nerovnosť \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) pre kladné reálne čísla \(x\), \(y\) a symetrickosť výrazu. Nerovnosť si dokážeme na začiatok, aby sme potom v dôkaze nemuseli robiť odbočku.

Nezápornosť štvorca \((x-y)^2 \ge 0\) prevedieme na tvar \(x^{2} + y^{2} \ge 2xy\). Keďže \(x\), \(y\) sú kladné, môžme predeliť nerovnosť výrazom \(xy\) a dostaneme požadovanú nerovnosť \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\). Rovnosť nastáva práve vtedy, keď \(x=y\). Keďže v našej úlohe sú všetky neznáme rôzne, môžme povedať, že \(x\neq y\) preto môžme písať ďalej už len „\(>\)“.

Ďalej si ukážeme, že ľavá strana nerovnosti je symetrická. To je taká vlastnosť, že keď trojicu \((l,d,o)\) vymeníme za trojicu \((l,o,d)\), \((o,d,l)\) alebo \((d,l,o)\), dostaneme taký istý výraz. Ak dosadíme trojicu \((l,o,d)\), dostaneme na pravej strane výraz \[\frac{l^2}{(o-d)^2}+\frac{o^2}{(l-d)^2}+\frac{d^2}{(l-o)^2} = \frac{l^2}{(d-o)^2}+\frac{d^2}{(o-l)^2}+\frac{o^2}{(l-d)^2}\text{,}\] ktorý je totožný s pôvodným výrazom na pravej strane. Ostatné rovnosti ukážeme analogicky. Čo sa týka pravej strany, tá je zjavne symetrická. Naša nerovnosť je teda symetrická. Jednou z vlastností symetrických výrazov je napríklad to, že môžeme usporiadať neznáme podľa veľkosti. Bez ujmy na všeobecnosti môžme povedať, že \(l>d>o\ge 0\).

Dobrým začiatkom je ukázať si nerovnosť pre nejaký špeciálny prípad. Preto si najprv ukážeme, že nerovnosť platí pre \(o=0\). \[\frac{l^2}{(d-0)^2}+\frac{d^2}{(0-l)^2}+\frac{0^2}{(l-d)^2}=\frac{l^2}{d^2}+\frac{d^2}{l^2}>2\] Poslednú nerovnosť máme už ukázanú, nakoľko \(l^2\) a \(d^2\) sú rôzne kladné reálne čísla.

Teraz potrebujeme ukázať, že nerovnosť platí pre \(o>0\). Preto potrebujeme upraviť naše zlomky, aby sa začali podobať tomu, čo máme ukázať. Zoberme si kladné reálne čísla \(x\), \(y\) a \(c\) kde \(x>y>c\) a zamyslime sa nad následujúcou nerovnosťou: \[2<\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\le \frac{(x+c)^2}{(y-c)^2}+\frac{(y+c)^2}{(c-x)^2}\] O prvej vieme, že platí, a o druhej vieme postupne povedať, že \[\frac{x^2}{y^2}\le\frac{(x+c)^2}{y^2}\le\frac{(x+c)^2}{(y-c)^2}\] a potom podobná nerovnosť platí aj pre zlomok \(y^2/x^2\) aj pre druhý zlomok.

Teraz už len prepísať nerovnosť tak, aby vyzerala ako naša. Substitúciami \(l=x+c\), \(d=y+c\) a potom aj \(o=2c\) dostaneme niečo, čo už je veľmi podobné tomu, čo máme dokázať. \[\frac{l^2}{(d-c-c)^2}+\frac{d^2}{(c+c-l)^2}= \frac{l^2}{(d-2c)^2}+\frac{d^2}{(2c-l)^2}= \frac{l^2}{(d-o)^2}+\frac{d^2}{(o-l)^2}\] Už len ukázať, že pridaním na ľavú stranu \(o^2/(l-d)^2\) rovnosť nenarušíme. Tento výraz je kladný, a teda pripočítaním kladného čísla ku väčšej strane nerovnosť nenarušíme. Naša nerovnosť teda platí. \[2<\frac{l^2}{(d-o)^2}+\frac{d^2}{(o-l)^2}\le \frac{l^2}{(d-o)^2}+\frac{d^2}{(o-l)^2}+\frac{o^2}{(l-d)^2}\]