Zadanie
Harry je fanúšik Harryho Pottera a prial si pod stromček symbol darov smrti. Pod stromčekom si našiel rovnostranný trojuholník \(ABC\) s vpísanou kružnicou \(k\) a rovnostranný trojuholník \(DEF\), ktorého opísaná kružnica je tiež kružnica \(k\). Harry bol smutný, lebo takto nevyzerá symbol darov smrti. No aspoň môže porovnať obsahy trojuholníkov. Zistite, koľkokrát je obsah trojuholníka \(ABC\) väčší ako obsah trojuholníka \(DEF\).
Trojuholník ABC je rovnostranný a vieme, že v rovnostranných trojuholníkoch sú ťažnice a výšky na jednotlivé strany totožné a ležia na osiach uhlov a aj osiach strán. Priesečník výšok (ortocentrum), ťažisko, priesečník osí uhlov a osí strán je jeden bod. Stred kružnice vpísanej trojuholníku sa nachádza na priesečníku osí uhlov (pretože os uhla je množina bodov, ktoré majú od ramien uhla rovnakú vzdialenosť). Dotykové body sú priesečníky strán a kolmíc zo stredu vpísanej kružnice na jednotlivé strany. V prípade rovnostranného trojuholníka sú týmito kolmicami kolmica výšky, ťažnice, … Dotykové body sú v tomto prípade stredy strán.
Keď tieto \(3\) dotykové body spojíme, vznikne nám tak trojuholník, ktorému je daná vpísaná kružnica trojuholníku \(ABC\) opísanou kružnicou. Teda trojuholník \(DEF\) zo zadania. O ňom vieme, že jeho vrcholy ležia v stredoch strán trojuholníka \(ABC\) a teda sú strednými priečkami. Stredné priečky rozdelia trojuholník \(ABC\) na \(4\) zhodné trojuholníky a dĺžka každej z nich je polovicou dĺžky strany trojuholníka \(ABC\).
Vzhľadom na to, že trojuholník \(DEF\) je jedným zo \(4\) zhodných trojuholníkov vypĺňajúcich trojuholník \(ABC\), je jeho obsah jednou štvrtinou obsahu trojuholníka \(ABC\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.