2. Kosáka Mučí Sudosť (κ ≤ 2) vzorové riešenie

Poďme zistiť koľko cifier bude mať \(2018.\) člen. Jednociferných členov v postupnosti je \(5\) a sú to práve nepárne cifry, teda: \(1,\,3,\,5,\,7\) a \(9\). Dvojciferných členov je \(25=5^2\), pretože na mieste prvej cifry môže byť \(5\) rôznych číslic a taktiež na mieste druhej cifry ich môže byť \(5\) rôznych. Trojciferných členov je \(125=5^3\), štvorciferných členov je \(625=5^4\), päťciferných členov je \(3125=5^5\). Vieme ľahko dopočítať, že členov, ktoré majú najviac štyri cifry je spolu \(780\) a členov, ktoré majú najviac päť cifier je \(3905\). Z toho ľahko vidno, že \(2018.\) člen musí byť päťciferný.

Tak a teraz nájdeme jeho jednotlivé cifry. Koľko je takých päťciferných členov, ktoré začínajú \(1\)? Pre každú zo zvyšných štyroch cifier máme \(5\) možností, teda takýchto členov je \(625\). Teda \(19999\) musí byť \(780+625=1405.\) člen postupnosti. Podobne členov začínajúcich \(3\) je tiež \(625\) a \(39999\) je \(780+625+625=2030.\) člen postupnosti. To sme už za \(2018.\) členom. Jedna možnosť ako ho nájsť, je ísť od \(39999\) (\(2030.\) člen) o dvanásť členov späť (na \(2018.\) člen). Kľudne si tie členy vypíšme: \(39\,999,\, 39\,997,\, 39\,995,\, 39\,993,\, 39\,991,\, 39\,979,\, 39\,977,\, 39\,975,\, 39\,973,\, 39\,971,\, 39\,959,\, 39\,957,\, 39\,9 55\). Vidíme, že o \(12\) členov naspäť od \(39999\) je \(39955,\) a to je náš hľadaný \(2018.\) člen.

Iné riešenie

Vieme ísť na to aj trochu inak. Keďže hľadáme \(2018.\) člen a vieme, že je päťciferný, tak zistime koľký päťciferný člen to je. Takých členov, ktorý majú menej ako päť cifier je \(780\), teda to musí byť \(2018-780= 1238.\) člen. Členov začínajúcich každou z možných cifier je \(625\). Potom podielom \(1238 : 625= 1 \text{ zv. } 613\) vieme zistiť, že prvá cifra musí byť \(3\). Je to tak, pretože vidíme, že \(1238.\) je v druhej \(625\)-tici. Prvá \(625\)-tica sú tie, ktoré začínajú cifrou \(1\), druhá \(625\)-tica sú tie, čo začínajú cifrou \(3\). V skutočnosti z toho vieme vyčítať ešte viac a dokonca, že je to \(613.\) člen v tejto \(625\)-tici, ktorá začína cifrou \(3\). Poďme zistiť ďalšiu cifru. Trojciferných členov je \(125\). Spravme podiel \(613 : 125=4 \text{ zv. } 113\). Vidíme, že chceme byť v piatej \(125\)-tici. Teda druhá cifra musí byť \(9\). Ďalej \(113 : 25=4 \text{ zv. } 13\). Ďaľšia cifra je tiež \(9\). \(13:5=2 \text{ zv. } 3\). ďalšia cifra je \(5\). \(3:1=3\), čím dostávame, že posledná cifra je tiež tretia najmenšia možná a je to konkrétne \(5\). Náš hľadaný \(2018.\) člen je \(39955\).

Iné riešenie

Môžme ísť aj od začiatku inak. Preveďme si číslo \(2018\) do päťkovej sústavy. Je to \(31\,033\). Čo znamená, že \(2018=3 \cdot 5^{4} + 1\cdot 5^{3} + 0 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0\). Avšak pozor, nemôžme si povedať, že nech je \(1\) ako \(0\) v päťkovej sústave, nech je \(3\) ako \(1\) v päťkovej sústave, … Vidieť to môžme ľahko na tomto príklade: číslo \(012\), resp. \(12\) v päťkovej sústave by sme reprezentovali ako \(135\), resp. ako \(35\), čo sú zjavne dva rôzne členy postupnosti. Ale číslo \(2018\) môžme zapísať aj inak, bez toho aby sme tam nejakú mocninu čísla \(5\) mali \(0\)-krát. Zoberieme ju radšej \(5\)-krát a tú ďalšiu väčšiu zoberieme o \(1\) menej krát. Potom číslo \(2018=2 \cdot 5^4+5 \cdot 5^3 +5 \cdot 5^2+3\cdot5^1+3\cdot5^0\). Tým máme takú modifikovanú päťkovú sústavu s ciframi \(1,\,2,\,3,\,4\) a \(5\). Tu však celkom spokojne môžeme \(1\) previesť na \(1\), \(2\) previesť na \(3\), \(3\) previesť na \(5\), \(4\) previesť na \(7\) a \(5\) previesť na \(9\). Číslo \(25\,533\) v tejto modifikovanej päťkovej sústave je po prevedení na členy postupnosti \(39\,955\).