5. Koule Mi Spadla (κ ≤ 7) vzorové riešenie

Keďže trojuholník \(ABC\) je ostrouhlý, sú body \(O\), \(E\) v rovnakej polrovine určenej priamkou \(AB\) ako bod \(C\). Stačí preto ukázať, že \(|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BAO|\). Riešenie si rozdelíme na dva prípady: keď bod \(E\) leží mimo trojuholníka \(ABC\) a keď leží v trohuholníku \(ABC\). Začneme prípadom, že leží mimo trojuholníka \(ABC\).

Keďže trojuholník \(ABO\) je rovnoramenný, tak \(|\sphericalangle BAO|=\frac{1}{2}(180^\circ-|\sphericalangle AOB|)=90^\circ-|\sphericalangle ACB|\). To platí preto, lebo uhol \(ACB\) je obvodový k oblúku, ku ktorému je uhol \(AOB\) stredový.

Uhly \(BAE\) a \(BDE\) sú obvodové uhly nad úsečkou \(BE\), preto platí, že \(|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BDE|\). Z trojuholníka \(BDE\) vieme, že \(|\sphericalangle BDE|=180^\circ-|\sphericalangle DEB|-|\sphericalangle EBD|\). Keďže štvoruholník \(BEDA\) je tetivový (čiže súčet jeho protiľahlých uhlov je \(180\) stupňov), tak platí \(180^\circ-|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle BAD|\). Po dosadení do predošlej rovnice dostávame \(|\sphericalangle BDE| = |\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle EBD|\), čo je to isté ako \(|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD|\) (označíme \(F\) priesečník priamok \(BE\) a \(AD\)). Preto dostávame rovnicu\[|\sphericalangle BAE| = |\sphericalangle BDE| =|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD| \text{.}\]

Zo zadania vieme, že \(|\sphericalangle BAD|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|\) a za pomoci trojuholníka \(BDF\) vidíme, že \[|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD|=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-180^\circ-(|\sphericalangle DFB|-|\sphericalangle BDF|) \text{.}\] Zo zadania ďalej vieme, že uhol \(DFB\) je pravý a uhly \(BDF\) a \(CDA\) sú vrcholové, preto platí aj následujúca rovnosť: \[\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-180^\circ-(|\sphericalangle DFB|-|\sphericalangle BDF|)=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-(90^\circ-|\sphericalangle CDA|) \text{.}\] Za pomoci trojuholníka \(ACD\) môžeme pokračovať v úpravách \[\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-(90^\circ-|\sphericalangle CDA|)=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-90^\circ+(180^\circ-|\sphericalangle DAC|-|\sphericalangle ACD|)\text{.}\] Ďalej už vieme pokračovať jednoduchým upravovaním výrazov a prepísmenkovaním uhlov \[\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+90-\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle BCA|=90-|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle BAO|\text{.}\] Ukázali sme teda, že uhly \(BAE\) a \(BAO\) majú rovnakú veľkosť, a preto body \(A\), \(E\), \(O\) ležia na jednej priamke.

Ešte potrebujeme rozobrať prípad, že bod \(E\) leží v trojuholníku \(ABC\). Zvoľme si vo vnútri trojuholníka \(ABC\) bod \(M\) ležiaci na úsečke \(AE\) taký, že \(|MA|=|MB|\). O tomto bode sa budeme snažiť ukázať, že je zhodný s bodom \(O\).

Veľkosť uhla \(DAE\) si označme \(x\). Z rovnosti obvodových uhlov nad tetivou \(DE\) vieme, že aj uhol \(DBE\) má veľkosť \(x\). Vieme ďalej, že \(|\sphericalangle DAB|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|\). Keďže trojuholník \(AMB\) je rovnoramenný, tak \(|\sphericalangle ABM|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+x\).

Z trojuholníka \(AMB\) dopočítame, že \(|\sphericalangle AMB|=180^\circ-|\sphericalangle BAC|-2x\). Keďže uhly \(AMB\) a \(BME\) sú susedné, tak \(|\sphericalangle BME|=|\sphericalangle BAC|+2x\). Pomocou trojuholníka \(AFE\) zistíme, že \(|\sphericalangle AEB|=|\sphericalangle AEF|=90^\circ-x\). Z trojuholníka \(MBE\) dopočítame, že \(|\sphericalangle MBE|=180^\circ-|\sphericalangle BME|-|\sphericalangle BEM|=90^\circ-|\sphericalangle BAC|-x\).

Sčítaním uhlov \(ABM\), \(MBE\) a \(EBC\) dostaneme, že \[|\sphericalangle ABC|= (\tfrac12|\sphericalangle BAC| + x) + (90^\circ - x - |\sphericalangle BAC|) + (x) = 90^\circ-\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+x.\] Pomocou trojuholníka \(ABC\) dostaneme, že \(|\sphericalangle BCA|=180^\circ-|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle ABC|=90^\circ-\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-x\).

Vidíme, že veľlkosť uhla \(AMB\) je dvojnásobkom veľkosti uhla \(ACB\). Kedže uhol \(ACB\) je obvodový uhol na kružnici opísanej trojuholníku \(ABC\) k oblúku \(AB\), tak uhol \(AMB\) musí byť stredový uhol k tomuto oblúku (je to aj vďaka tomu, že \(|MA| = |MB|)\). Z toho už vyplýva, že bod \(M\) je stredom kružnice opísanej trojuholníku \(ABC\), a preto je zhodný s bodom \(O\). Bod \(M\) bol zvolený tak, aby ležal na úsečke \(AE\) a teda aj bod \(O\) na nej leží, čiže body \(A\), \(E\), \(O\) ležia na jednej priamke.