4. Kompozícia Mnohých Susedov (κ ≤ 4) vzorové riešenie

Na začiatok si ujasnime dve veci:

• Zložené číslo je také celé kladné číslo \(n\), ktoré nie je prvočíslom a je rôzne od \(1\). Môžeme ho zapísať v tvare \(n=a\cdot b\), kde \(a\), \(b\) sú tiež celé kladné čísla rôzne od \(1\). (Príklad: \(10=2\cdot5\).)
• Vlastný deliteľ je také celé kladné číslo \(d\), ktoré delí zložené číslo \(n\) a je rôzne od \(1\) aj od \(n\). (Príklad: \(12\) má vlastných deliteľov \(2\), \(3\), \(4\), \(6\).)

Našou úlohou je nájsť také číslo \(n\), aby všetky jeho vlastné delitele \(d_i\) zväčšené o \(1\) boli všetkými vlastnými deliteľmi \(d_i+1\) iného zloženého čísla \(m\). Nech teda \(N=\{d_1, d_2, d_3, \dots, d_k\}\) je množinou všetkých vlastných deliteľov čísla \(n\) a \(M=\{d_1+1, d_2+1, d_3+1, \dots, d_k + 1\}\) je množinou všetkých vlastných deliteľov čísla \(m\). Keďže najmenší vlastný deliteľ čísla \(n\) je \(d_1\ne 1\) (pretože v tom prípade by nebol vlastným deliteľom), tak najmenší vlastný deliteľ čísla \(m\) je \(d_1+1\ne2\), z čoho vyplýva, že číslo \(m\) nebude môcť byť deliteľné dvomi, čiže bude nepárne a jeho vlastnými deliteľmi môžu byť len nepárne čísla.

Ak všetky vlastné delitele čísla \(m\) sú nepárne, tak všetky vlastné delitele čísla \(n\) musia byť naopak párne.

Ďalej si uvedomme, že ak \(N\) obsahuje nejaké číslo \(2^k\cdot p\), kde \(p\) je nepárne prvočíslo, tak musí obsahovať aj \(p\), pretože aj to bude vlastným deliteľom čísla \(n\). Lenže ak \(N\) obsahuje \(p\), tak \(M\) obsahuje \(p+1\) a to je číslo párne (nepárne číslo zväčšené o \(1\) je párne číslo), čo je v rozpore s predchádzajúcim zistením, že vlastné delitele čísla \(m\) sú nepárne. Takže \(N\) nemôže obsahovať číslo tvaru \(2^k\cdot p\).

Pre názornosť:

• \(2\)
• \(4=2\cdot2=2^2\)
• \(6=3\cdot2\)
• \(8=2\cdot2\cdot2=2^3\)
• \(10=5\cdot2\)
• \(12=3\cdot2\cdot2\)
• \(14=7\cdot2\)
• \(16=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4\)
• \(\dots\)

Vidíme, že vhodné sú práve mocniny čísla \(2\). V konečnom dôsledku rovnako tak aj číslo \(n\) musí byť mocninou dvojky a platí, že ak \(n=2^k\), potom \(N=\{2, 2^2, 2^3, \dots ,2^{k-1}\}=\{2, 4, 8, \dots ,2^{k-1}\}\) a \(M=\{3, 5, 9,\dots, 2^{k-1}+1\}\).

Vezmime si teda \(N=\{2\}\). Vtedy je \(n=4\), \(M=\{3\}\) a \(m=9\). Ďalej ak \(N=\{2, 4\}\), \(n=8\), potom \(M=\{3, 5\}\) a \(m=15\). Ale ak \(N=\{2, 4, 8\}\), \(n=16\), potom \(M=\{3, 5, 9\}\), najmenší spoločný násobok týchto troch čísel je číslo \(45\), lenže to má vlastného deliteľa aj \(15\) a teda nie je splnená podmienka, že množina \(M\) obsahuje všetky vlastné delitele čísla \(m\). Číslo \(15\) bude vždy vlastným deliteľom čísla \(m\) ak sú čísla \(3,5\) a \(9\) jeho vlastnými deliteľmi, teda ak sú čísla \(2,4\) a \(8\) vlastnými deliteľmi čísla \(n\). Aby číslo \(15\) bolo v množine \(M\), tak v množine \(N\) musí byť číslo 14. Avšak to už vieme, že takéto číslo byť v množine \(N\) nemôže. Teda žiadne ďalšie \(n=2^k\) nevyhovuje.

Pre každé ďalšie \(n\) nebude množina \(M\) spĺňať spomínanú podmienku a teda finálnym riešením sú hodnoty \(n=4\) a \(n=8\) a k nim prislúchajúce \(m=9\) a \(m=15\).