10. Krotenie Monštra Skazy vzorové riešenie

Máme dokázať, že nejaký trojuholník je rovnoramenný. Najjednoduchšie to ukážeme tak, že dokážeme rovnosť jeho dvoch uhlov. Preto budeme v riešení počítať uhly. No budeme musieť použiť aj pár netriviálnych vecí okrem štandardného uhlenia. Tak poďme na to.

Zjavne bod \(\check{S}\) je Švrčkovým bodom oblúku \(BC\). V riešení využijeme niektoré jeho vlastnosti. Ak ich nepoznáte, je dobré sa s nimi zoznámiť, napr. tu: https://mks.mff.cuni.cz/library/SvrckuvBodMV/SvrckuvBodMV.pdf.

Označme si \(K\) priesečník priamky \(J\check{S}\) s priamkou \(BC\). Predpokladajme, že bod \(P\) leží na oblúku \(AB\). Využitím Shooting lemma vieme, že \(|\check{S}B|^2=|\check{S}K||\check{S}P|\). Taktiež vieme, že bod \(\check{S}\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(BIC\), a preto \(|\check{S}B|=|\check{S}I|\). Spojením týchto dvoch vzťahov dostávame, že \(|\check{S}K||\check{S}P|=|\check{S}I|^2\). Z tohto vzťahu vyplýva podobnosť trojuholníkov \(\check{S}KI\) a \(\check{S}IP\) podľa vety \(sus\), a preto \(|\sphericalangle \check{S}KI|\)=\(|\sphericalangle\check{S}IP|\).

Pre jednoduchšie vyjadrovanie označujme pre body \(X,Y\) na opísanej kružnici \(\widehat{XY}\) veľkosť obvodového uhla nad oblúkom \(XY\). Ak ste nikdy nepočítali uhly pomocu oblúkov, tak sa to skúste naučiť, je to vážne rýchlejšie :). Pri ňom je ešte veľmi nápomocná nasledujúca lema:

Lema. Ak body \(X\), \(Y\), \(Z\), \(W\) ležia v tomto poradí na kružnici a \(T\) je priesečník \(XZ\) a \(YW\), tak \(|\sphericalangle XTY|=\widehat{XY}+\widehat{ZW}\).

Dôkaz. Ak to nepoznáte, tak si to vyuhlite za domácu úlohu a zapamätajte.

Tak a teraz poďme na to: Vieme, že \[|\sphericalangle PA\check{S}|=\widehat{P\check{S}}=\widehat{PB}+\widehat{B\check{S}}=\widehat{PB}+\widehat{C\check{S}}=|\sphericalangle \check{S}KC|.\]

Pri poslednej rovnosti sme využili lemu. My vieme, že \(|\sphericalangle \check{S}KC|=|\sphericalangle IKC|\), lebo \(J\), leží na \(\check{S}K\) a je to obraz \(I\) v osovej súmernosti. Teraz už len dáme všetky pozorovania dokopy:

\[2|\sphericalangle PAI|=2|\sphericalangle \check{S}KC|=|\sphericalangle \check{S}KI|=|\sphericalangle\check{S}IP|=|\sphericalangle PAI|+|\sphericalangle API|\]

Keď sa na toto poriadne pozrieme, tak si uvedomíme, že trojuholník \(PAI\) je naozaj rovnoramenný, čo sme chceli dokázať.

Pre úlpnosť by sme mali dodať, že naše riešenie funguje, aj ak \(P\) leží na inom oblúku – zo symetrie stačí uvažovať už len prípad, že leží na oblúku \(B\check{S}\). Tam sa akurát niektoré oblúky a uhly odčítajú, ale inak to funguje rovnako (premyslite si). A tak isto to funguje aj v dementnom prípade, ak \(P\equiv B\).

Samozrejme úloha sa dala vyriešiť aj bez počítania pomocou oblúkov v strednej časti, a to prostým vyuhlením. Chcel som však túto techniku ukázať, lebo si myslím, že je dobré ju poznať. A tiež je dobré poznať vlastnosti Švrčkovho bodu.