3. Kompletne Magický Štvorec (κ ≤ 3) vzorové riešenie

Je viacero podobných riešení, ako sa dala táto úloha spraviť. Vždy sa budeme snažiť nájsť všetky konkrétne tabuľky, ktoré vyhovujú zadaniu. Väčšina bude začínať tak, že si nakreslíme tabuľku a dáme do nej nejaké premenné, ktoré nám budú reprezentovať čísla v jednotlivých bunkách.

Vieme, že súčet čísel v riadku aj v stĺpci, aj po diagonále má byť rovný 47. Tieto čísla sú rôzne, celé a kladné. Vedeli by sme si teraz vytvoriť 8 rovníc, v ktorých by na ľavej strane bol súčet troch čísel a na pravej strane 47. Pozrime sa však len na niektoré a z každej vyjadrime E
$$\begin{aligned} A+E+I=47 &\implies E=47-A-I,\\ B+E+H=47 &\implies E=47-B-H,\\ C+E+G=47 &\implies E=47-C-G. \end{aligned}$$
Sčítame rovnice, v ktorých máme vyjadrené E a dostaneme: 3 ⋅ E = 3 ⋅ 47 − (A + I + B + H + C + G). Teraz tú rovnicu len napíšeme trošku krajšie: 3 ⋅ E = 3 ⋅ 47 − ((A + B + C)+(G + H + I)). A + B + C je súčet čísel v prvom riadku, čiže 47 a podobne G + H + I je súčet čísel v treťom riadku, a teda 47. Dostávame 3 ⋅ E = 3 ⋅ 47 − (47 + 47). Z čoho E = 47/3. Avšak my sme mali v zadaní, že čísla v bunkách tabuľky sú celé kladné čísla a 47 nie je deliteľné tromi, takže to nebude celé číslo. Naša úloha nemá riešenie.

Iné riešenie

Toto riešenie je také viac drevorubačské. Všetky bunky tabuľky vyjadríme len pomocou A, B a D na základe toho, že vieme že súčet každého riadka, stĺpca a diagonály je 47. Teda namiesto C budeme mať 47 − A − B. Namiesto G máme 47 − A − D. Teraz, keď už máme vyjadrené C a G, tak E vieme vyjadriť z diagonály ako 47 − (47 − A − B)−(47 − A − D)=2 ⋅ A  + B + D − 47. Keď už máme E, tak si z druhého riadka vyjadríme F ako 47 − D − (2 ⋅ A  + B + D − 47)=94 − 2 ⋅ A  − B − 2 ⋅ D. Podobne z druhého stĺpca máme: H = 47 − B − (2 ⋅ A  + B + D − 47)=94 − 2 ⋅ A  − 2 ⋅ B − D. Bunku I si vyjadríme dvoma spôsobmi a to z tretieho stĺpca a z diagonály. Z tretieho stĺpca dostávame I = 47 − (47 − A − B)−(94 − 2 ⋅ A  − B − 2 ⋅ D)=3 ⋅ A  + 2 ⋅ B + 2 ⋅ D − 94. Z diagonály I = 47 − A − (2 ⋅ A  + B + D − 47)=94 − 3 ⋅ A  − B − D. Nakoľko sú obe ľavé strany I, tak sa musia rovnať aj pravé strany, teda 3 ⋅ A  + 2 ⋅ B + 2 ⋅ D − 94 = 94 − 3 ⋅ A  − B − D z čoho po úprave dostaneme 3 ⋅ (2 ⋅ A  + B + D)=188 . Číslo 188 nie je deliteľné tromi, z čoho vyplýva že 2 ⋅ A  + B + D nie je celé číslo, avšak zo zadania by to mal byť súčet celých čísel (čo je celé číslo), a teda dochádzame k sporu. Z čoho plynie, že úloha nemá riešenie.