5. Kladných Máme Silákov (κ ≤ 7) vzorové riešenie

Máme ukázať, že platí nerovnosť\[\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} \ge \frac {2}{(a+b)(c+d)},\]kde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sú kladné reálne čísla, ktoré spĺňajú podmienku \(a+b+c+d=1\). Na prvý pohľad môže dôkaz vyzerať zložito, ale my si ukážeme, že sa dá urobiť na pár riadkov a to pomocou nerovnosti aritmetického a geometrického priemeru (AG nerovnosti). AG nerovnosť platí pre kladné reálne čísla a jej všeobecný zápis je \[\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}.\]Podľa AG nerovnosti platí \[ \begin{aligned} \frac{a+b}{2}&\ge\sqrt{ab}, \\ a+b&\ge 2\sqrt{ab}. \end{aligned} \] Odtiaľ vyjadríme\[\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge \frac{2}{(a+b)}\]a analogicky \[\frac{1}{\sqrt{cd}}\ge \frac{2}{(c+d)}.\]

Nerovnosti sčítame a upravíme: \[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}}&\ge\frac{2}{(a+b)}+\frac{2}{(c+d)},\\ \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} & \ge\frac{2(a+b)+2(c+d)}{(a+b)(c+d)}, \\ \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} & \ge\frac{2(a+b+c+d)}{(a+b)(c+d)}. \end{aligned} \] Zo zadania vieme, že \(a+b+c+d=1\), a teda dostaneme nerovnosť, ktorú sme mali dokázať.

Na záver si ešte ukážeme, ako by sme danú nerovnosť dokázali aj bez použitia AG nerovnosti. Vieme, že \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0\), pretože druhá mocnina je vždy kladná alebo nulová. Dostaneme \[\begin{aligned} a-2\sqrt{ab}+b&\ge0, \\ a+b&\ge 2\sqrt{ab} \end{aligned}\]a ďalej môžeme pokračovať, ako je ukázané vyššie.