1. Kike Mešká Spoj (κ ≤ 1) vzorové riešenie

Zadanie

Kika čaká na lietadlo do Dánska. Z dlhej chvíle začala postupne písať do štvorčekovej siete prirodzené čísla. Začala od jednotky a vpisovala ich v protismere hodinových ručičiek tak, ako vidíte na obrázku. Ktoré číslo je napísané pod číslom 2018?

Vypisovať všetky čísla až po 2018 sa nám určite nebude chcieť, preto by sme chceli objaviť vzťah medzi číslami napísanými na určitých pozíciách. Vypíšeme si niekoľko malých čísel a skôr či neskôr si všimneme postupnosť, ktorú sme už niekde videli. Vpravo dole od jednotky máme deviatku, vpravo dole od nej je číslo \(25\), potom \(49\), \(81\) a tak ďalej. Vidíme teda, že na tejto polpriamke sa postupne nachádzajú druhé mocniny nepárnych čísel. Aby sme si tým mohli byť istí a použiť to v riešení, musíme to ešte dokázať.

Predstavme si, že čísla si postupne vpisujeme do štvorčekov. Číslo na poslednom políčku vlastne hovorí, na koľkých štvorčekoch (vrátane jeho samého) je už napísané nejaké číslo, inými slovami, reprezentuje obsah časti, na ktorej sú napísané čísla. Keď teda budeme mať vyplnený práve štvorec, budeme sa nachádzať na polpriamke, ktorá ide od jednotky doprava dole a posledné napísané číslo bude obsah tohto štvorca, čiže druhá mocnina. Keď sa znovu dostaneme do situácie, že máme vyplnený štvorec, tak nový štvorec bude mať od predchádzajúceho o dva štvorčeky dlhšiu stranu, preto budú na našej polpriamke len nepárne druhé mocniny.

Aby sme vedeli kde sa nachádza číslo 2018, potrebujeme nájsť nepárnu mocninu, ktorá je najbližšie k nemu. Tou je \(45^2=2025\). Vzdialenosť štvorčekov s číslami \(2025\) a \(2018\) je \(7\), čiže číslo \(2018\) sa nachádza o sedem štvorčekov vľavo od čísla \(2025\). Aby sme zistili aké číslo je pod ním, musíme ísť o riadok nižšie, čiže doprava dolu od \(2025\) na najbližšiu nepárnu druhú mocninu, teda \(47^2=2209\) a potom už len o osem doľava aby sme sa dostali pod \(2018\). Čím sme sa dostali na číslo \(2209-8=2201\)

Pod číslom \(2018\) sa teda nachádza číslo \(2201\).