Zadanie
Kika má \(10\) kufrov očíslovaných desiatimi po sebe idúcimi kladnými celými číslami. Všimla si, že jedno z nich je nesúdeliteľné s ostatnými. Pri tomto pozorovaní sa zamyslela, pre aké iné desatice po sebe idúcich čísel to platí. Dokážte, že jej desatica nie je špeciálna, pretože táto vlastnosť platí pre všetky desatice po sebe idúcich kladných celých čísel.
Na úvod je dôležité, uvedomiť si, čo od nás úloha očakáva. Potrebujeme dokázať, že pre ľubovoľných \(10\) po sebe idúcich prirodzených čísel platí, že aspoň jedno z nich nemá žiadneho spoločného deliteľa s ktorýmkoľvek iným.
Mnohí z vás si uvedomili, že medzi takýmito desiatimi číslami v žiadnom prípade nebudú dva násobky čísla, ktoré je väčšie ako \(9\). Je to jednoducho preto, lebo rozdiel medzi najväčším a najmenším číslom je práve \(9\) a teda dve čísla s rozdielom väčším ako \(9\)(a teda aj dva násobky čísla väčšieho ako \(9\)) sa tam nenachádzajú. Taktiež je dobrým nápadom uvažovať medzi deliteľmi len prvočísla, pretože zložené čísla sú už sami násobkami niektorého menšieho čísla. Preto nás pri riešení bude zaujímať, či je každé z čísel deliteľné niektorým z prvočísel od \(2\) po \(9\). Týmito prvočíslami sú: \(2, 3, 5\) a \(7\).
V ďalšej časti riešenia je potrebné spočítať, koľko čísel medzi týmito desiatimi môže byť násobkom jednotlivých prvočísel. Ako úloha hovorí, potrebujeme ukázať, že nech ide o akýchkoľvek \(10\) po sebe idúcich čísel, maximálne deväť z nich bude násobkom niektorého z uvedených prvočísel. Postupne uvážime každé z nich a tiež prekryvy, ktoré môžu nastať - napríklad číslo \(10\) by sme zaradili medzi násobky dvojky aj päťky, no stále ide len o jedno číslo.
Násobkov dvojky bude zjavne v ľubovoľnej takejto skupine čísel \(5\) - všetky párne čísla. Násobky trojky môžu byť v skupine nanajvýš štyri(napríklad \(21, 24, 27, 30\) medzi číslami od \(21\) po \(30\)). Spomedzi nich budú nepárne nanajvýš dva, pretože medzi ľubovoľnými dvomi po sebe idúcimi nepárnymi násobkami trojky musí byť párny násobok. Násobky päťky sú vždy v skupine dva, jeden končiaci cifrou \(0\) a druhý cifrou \(5\), nepárny je ten končiaci cifrou \(5\). Podobne môžete uvážiť, že sa v skupine bude nachádzať nanajvýš jeden nepárny násobok sedmičky.
V predošlom odseku sme nezvážili, že číslo môže byť nepárne a byť násobkom dvoch rôznych prvočísel. Môžeme si uvedomiť, že tieto čísla by nám pri hľadaní čo najvyššieho možného počtu čísel, ktoré sú násobkami daných prvočísel, s určitosťou nepomohli. Teraz nám už len stačí spočítať, že počet takýchto čísel bude nanajvýš \(5 + 2 + 1 + 1 = 9\) a teda sa nám pre každú skupinu desiatich za sebou idúcich čísel podarí nájsť jedno, ktoré je s ostatnými nesúdeliteľné.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.