8. Krutá Matematická Skúška vzorové riešenie

Úvodné myšlienky

Zdala sa vám táto úloha škaredá? Ak áno, tak to podľa mňa len znamená, že ste ju nevyriešili. ;) Poďme si ukázať riešenie a spoločne sa nadchnúť viacerými peknými zákonitosťami, ktoré v sebe táto úloha skrýva.

Pri dokazovaní nerovností sa často oplatí zamyslieť sa nad tým, kedy je rozdiel medzi väčšou a menšou stranou nerovnosti najmenší – inak povedané, kedy sa nerovnosť dosahuje najtesnejšie. Ak sa nám podarí dokázať nerovnosť pre akési „najtesnejšie“ prípady a preukážeme, že ostatné prípady sú „menej tesné“, tak sme vyhrali.

Prečo sa nám také niečo oplatí? Sťažovať si situáciu? Nuž, keď sa nad tým zamyslíme, tak si situáciu v skutočnosti nesťažujeme. Tie tesné prípady by sme museli dokázať aj tak. Naopak, situácia sa nám zjednoduší, lebo budeme úlohu dokazovať pre menej možných hodnôt premenných, čim sa nám môže často podariť premenné vyjadriť v špeciálnom tvare.

Predstavme si napríklad, že pre \(0 \le b \le a \le 2\) chceme dokázať nerovnosť \(2a - \frac{1}{2}(a^2+b^2)\ge 0\). Hoci v tomto prípade sa jedná o veľmi jednoduchú nerovnosť, nejako musíme využiť danú podmienku, že \(b \le a\), lebo bez nej nerovnosť neplatí. Všimnime si, že v našej nerovnosti platí, že čím je \(b\) väčšie, tým je hodnota ľavej strany menšia a teda nerovnosť tesnejšia. Ak sa nám teda nerovnosť podarí dokázať pre najväčšiu možnú hodnotu \(b\), tak tým automaticky dokážeme nerovnosť pre všetky možné hodnoty \(b\). Avšak \(b\) je zo zadania ohraničené zhora \(a\). Preto ho v nerovnosti môžeme nahradiť za \(a\) a dostaneme: \(2a - \frac{1}{2}(a^2+a^2) = 2a - a^2 = a(2-a) \ge 0\). Vidíme, že uvažovaním najtesnejšieho možného prípadu sme sa zbavili jednej premennej, čím sme si výrazne zjednodušili situáciu. Niečo podobné spravíme aj v našej úlohe.

Dôkaz

Posvieťme si najprv na ľavú stranu našej nerovnosti. Vystupujú tam dolné celé časti z odmocnín. To nám po chvíľkovej úvahe napovie, že hodnota takýchto výrazov závisí od toho, medzi ktorými dvoma štvorcami (druhými mocninami celých/prirodzených čísel) sa naše \(a_i\) nachádza. Napríklad, ak \(a_1=42\), potom toto číslo sa nachádza medzi štvorcami 36 a 49, jeho odmocnina bude teda medzi číslami 6 a 7, a teda \(\big\lfloor\sqrt{a_1}\big\rfloor=6\). Skok v hodnote tohto výrazu nastane, ak hodnotu \(a_1\) budeme zvyšovať až na hodnotu 49. Vtedy hodnota nášho výrazu skočí o 1.

Naopak, výraz \(\big\lfloor\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_{25}+200k}\big\rfloor\) sa zväčšovaním \(a_i\) minimálne nezmenšuje. Teda pokiaľ zvýšime všetky hodnoty \(a_i\) až na level \((c_i+1)^2-1\) pre nejaké \(c_i\) také, že \(c_i^2 \le a_i < (c_i+1)^2\), ostane hodnota výrazu na ľavej strane nezmenená, kým hodnota výrazu na pravej strane sa buď nezmení, alebo sa zväčší. Preto pre takéto hodnoty \(a_i\) je nerovnosť dosahovaná najtesnejšie. Stačí nám teda dokázať úlohu pre takéto hodnoty \(a_i\).

Bez ujmy na všeobecnosti môžeme (vďaka tomu, že premenné majú v našej úlohe rovnaké postavenie) predpokladať \(a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_{25}\). Keďže hodnota \(200k\) robí v úlohe veľkú šarapatu, budeme úlohu dokazovať pre každú možnú hodnotu \(a_1\) zvlášť.

Ako budeme pri našom dôkaze postupovať? Využijeme pri ňom ďalšiu zaujímavú myšlienku, nazvime ju „princíp postupného nastavenia hodnôt“. Uvažujme, že chceme overiť, či platí nerovnosť pre nejaké konkrétne hodnoty \(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_{25}\). Budeme vychádzať zo stavu \(a_1 = a_2 = \dots = a_{25} = a_1\) (t.j. „nastavíme“ hodnoty všetkých premenných na hodnotu \(a_1\)) a postupne budeme od poslednej premennej (\(a_{25}\)) nastavovať hodnoty premenných na tie, ktoré chceme. Popri tom budeme sledovať, či sa nám pri tomto procese zachováva naša nerovnosť.

Potrebujeme teda na začiatok dokázať, že nerovnosť platí pre všetky hodnoty \(a_1 = a_2 = \dots = a_{25} = (c_1+1)^2-1\) pre nejaké \(c_1\) nezáporné. Potom zrejme ľavá strana nerovnosti má hodnotu presne \(25c_1\). Pravá strana nerovnosti bude mať hodnotu \(\big\lfloor 15\sqrt{(c_1+1)^2-1} \big\rfloor\). Zrejme \(\big\lfloor 15\sqrt{(c_1+1)^2-1} \big\rfloor < \big\lfloor 15(c_1+1) \big\rfloor = 15(c_1+1)\). Pre \(c_1 \ge 2\) je teda nerovnosť triviálne splnená. Takisto ak sú všetky hodnoty \(a_i\) nulové, tak je nerovnosť splnená. Ostáva nám overiť už iba prípad, keď \(a_i=3\) pre všetky \(i\). Po dosadení dostaneme: \(25 \ge \big\lfloor\sqrt{675}\big\rfloor \doteq \big\lfloor\ 25,98 \big\rfloor = 25\). Tu sme narazili na ďalšiu peknú časť našej úlohy a tou je neuveriteľná tesnosť nami dokazovanej nerovnosti práve v hodnotách \(a_i = 3\). Totiž, už \(676=26^2\).

Teraz teda predpokladajme, že overujeme platnosť nerovnosti pre hodnoty \(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_{25}\) (nie nutne rovnaké). Nastavíme na začiatok všetky hodnoty \(a_i\) na hodnotu \(a_1\) a postupne od \(a_{25}\) zväčšujeme hodnoty na nami požadované. Keďže predpokladáme, že všetky \(a_i\) majú hodnoty o jedna zmenšených štvorcov, budeme tento proces robiť nasledovne – na začiatku je hodnota \(a_{25}\) inicializovaná na hodnotu \(a_1 = (c_1+1)^2-1\). V každom kroku zvýšime hodnotu \(a_{25}\) tak, aby \(a_{25}=(c_1+1+k)^2-1\), kde \(k\) vyjadruje poradie kroku, ktorý robíme. Takýmto spôsobom postupne dosiahneme až hodnotu \(a_{25}\).

Napríklad, ak \(a_1=8\) a \(a_{25}=48\), budeme hodnotu \(a_{25}\) zvyšovať po hodnotách \(8, 15, 24, 35, 48\). Počas tohto procesu budeme sledovať, čo sa nám bude diať s jednotlivými stranami nerovnosti. Po dokončení procesu s \(a_{25}\) prejdeme na \(a_{24}\), potom \(a_{23}\) atď. až \(a_2\). Hodnotu \(a_1\) meniť nemusíme, lebo predpokladáme, že tá je už od začiatku nastavená správne.

Čo sa teda deje so stranami nerovnosti pri postupnom zväčšovaní \(a_{25}\)? Ľahko si premyslíme, že v jednom kroku sa hodnota ľavej strany zvýši práve o 1. Stačí teda ukázať, že hodnota pravej strany sa zvýši nanajvýš o 1. Ak sa nám to podarí ukázať pre všetky kroky nastavovania \(a_{25}\) a potom aj ostatných \(a_i\), vyhrali sme, lebo sme neporušili našu nerovnosť a dosiahli sme hodnoty, pre ktoré sme našu nerovnosť overovali (a tieto hodnoty mohli byť ľubovoľné).

Pri dokazovaní toho, že hodnota pravej strany sa v jednom kroku nezvýši viac ako o 1 využijeme ďalšiu zaujímavú myšlienku. Tou je, že vzdialenosť po sebe idúcich štvorcov s ich rastúcou hodnotou narastá. Konkrétne, rozdiely po sebe idúcich štvorcov tvoria aritmetickú postupnosť \(1,\, 3,\, 5,\, 7,\, \dots\) (skúste si dokázať).

Pri prechode \(a_{25}\) medzi dvomi hodnotami o jedna zmenšených po sebe idúcich štvorcov sme toto číslo zvýšili presne o rozdiel týchto štvorcov. Hodnota pod odmocninou na pravej strane nerovnosti nám pri tomto kroku vzrástla o rovnakú hodnotu. Aby sa \(\big\lfloor \sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_{25}+200k} \big\rfloor\) zvýšila aspoň o dva, musela by hodnota výrazu pod odmocninou „prejsť“ aspoň cez dva štvorce. Lenže keďže zrejme \(a_1+a_2+\cdots+a_{25}+200k \ge a_{25}\), musí byť rozdiel medzi po sebe idúcimi štvorcami na týchto hodnotách aspoň taký veľký (alebo vo väčšine prípadov väčší) ako rozdiel medzi po sebe idúcimi štvorcami na hodnotách \(a_{25}\). Preto aj hodnota \(a_{25}\) by pri jednom kroku musela prejsť cez dva štvorce, čo je spor s tým, že prešla iba cez jeden (tu sme ešte implicitne využili, že \(a_{25}\) je iba o jedna menšie ako štvorec. Inak povedané, stačí ju zväčšiť o viac ako rozdiel po sebe idúcich štvorcov, ktoré sú nad ňou a už automaticky prejde cez dva štvorce).

Ak sa vám toto zdôvodnenie zdalo príliš neformálne, alebo málo algebraické, skúste si ho dokázať algebraicky. Je to pomerne jednoduché. Pre účely nášho vzoráku som takýto dôkaz považoval za nepotrebný, nakoľko by nás to stálo iba ďalšie zbytočné označenia.

Takýmto spôsobom vieme argumentovať aj pre všetky ostatné \(a_i\). Pri postupnom nastavovaní hodnôt na nami požadované \(a_i\) sme teda neporušili nerovnosť (naopak, v každom kroku sa rozdiel medzi ľavou a pravou stranou buď nezmenil, alebo o 1 zväčšil).

No a to je, prosím pekne, úspešný koniec nášho dôkazu.