Zadanie
Jožo prišiel ráno do obchodu so syrom a zaradil sa do radu ako osemnásty zákazník. V obchode bolo pred otvorením \(20\) kilogramov syra. Predavačka po každom vybavenom zákazníkovi prehlásila, že ak si každý nasledujúci zákazník kúpi presne toľko, koľko bol priemerný nákup všetkých predošlých zákazníkov, zostane ešte presne pre ďalších \(17\) zákazníkov. Môže sa stať, že po každom zo \(17\) prvých zákazníkov bude toto tvrdenie pravdivé? Ak áno, koľko syra zostane, keď sa Jožo dostane na rad?
Aby sa nám lepšie pracovalo so zadaním, chceli by sme si prepísať to, čo predavačka prehlásila, ako rovnicu. K tomu nám pomôže, keď sa najskôr pozrieme na situáciu v obchode po prvom zákazníkovi. Označme si množstvo syra, ktoré kúpil ako \(x_1\). Po jeho nákupe teda ostane pre ďalších zákazníkov \(20 - x_1\) kilogramov syra. Toto množstvo sa musí rovnať \(17 x_1\), keďže pri jednom zákazníkovi je množstvo, ktoré kúpil aj do teraz priemerné množstvo. Dostali sme nasledujúcu rovnicu: \[20 - x_1 = 17 x_1.\] Nasleduje druhý zákazník, ten si kúpi množstvo syra \(x_{2}\). Priemerný nákup sa zmení na \(\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}\) a my dostávame rovnicu: \[20 - (x_{1} + x_{2}) = 17 \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}.\] Takto nasledujú ďalší zákazníci, pre ktorých sa bude naša rovnica meniť. Označme si súčet prvých \(n\) nákupov \(S_n\). Keď rovnicu napíšeme po prvých \(n\) zákazníkoch, dostávame: \[20 - S_n = 17 \dfrac{S_n}{n}.\]
Táto rovnica hovorí presne to, čo predavačka prehlásila po \(n\)-tom zákazníkovi. Ľavá strana vyjadruje, koľko syru ostalo po vybavení \(n\) zákazníkov, pravá strana hovorí, že je to presne toľko, čo treba pre \(17\) ďalších, ak si každý z nich kúpi presne doterajší priemer.
Ostáva nám ešte ukázať, že naozaj existuje takáto postupnosť nákupov. To spravíme tak, že vyjadríme hodnotu \(n\)-tého nákupu a ukážeme, že je to kladné číslo. Množstvo syra, ktoré si kúpil \(n\)-tý zákazník, budeme označovať ako \(x_n\).
Najprv vyjadríme z rovnice \(S_n\): \[S_n=\dfrac{20n}{17+n}.\] Prepíšeme rovnicu pre \(n+1\): \[S_{n+1}=\dfrac{20(n+1)}{17+n+1}.\] Zároveň vieme, že \(S_{n+1}=S_n+x_{n+1}\), preto \(x_{n+1}\) vyjadríme ako \(S_{n+1}-S_n\) a po niekoľkých úpravách dostaneme: \[x_{n+1}=\dfrac{340}{n^2+35n+306}.\]
Teraz vidíme, že pre každé nezáporné \(n\) vieme z rovnice vyjadriť \(x_n\) a jeho hodnota bude kladná. Preto takáto postupnosť nákupov existuje (dokonca predavačka môže obslúžiť aj ľubovoľné množstvo zákazníkov).
Keď dosadíme \(n = 17\) dostaneme, že \(S_{17} = 10\). To znamená, že kým sa Jožo dostane na rad, sa minie \(10 \textrm{ kg}\) syra, a teda aj ostalo \(10\textrm{ kg}\) syra.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.