9. Krádež Matematických Šperkov vzorové riešenie

Zrejme pre ľubovoľné \(4\) po sebe idúce prirodzené čísla platí, že ich súčin je deliteľný štyrmi. Číslo \(36^n-6 = 6(6^{2n-1}-1)\) je zrejme deliteľné iba dvomi a štyrmi nie. Teda \(6(6^{2n-1}-1)\) je súčinom nanajvýš troch po sebe idúcich prirodzených čísiel. Z nich najviac jedno je párne.

Teraz sa úloha dala rozdeliť na dve časti, totiž na časť a), kde predpokladáme, že \(36^n-6 = (k+1)k\) pre nejaké prirodzené \(k\), a na časť b), kde \(36^n-6 = (k-1)k(k+1)\). Obidve časti sa dali riešiť viacerými spôsobmi.

Časť a): súčin troch čísel

V časti a) má platiť \(36^n-6 = (k-1)k(k+1)\). Pri riešení rovníc s celými číslami nám veľmi vedia pomôcť zvyšky po delení. Otázkou je, že zvyšky po delení ktorým číslom chceme študovať. Dobré je vybrať také číslo, aby jednotlivé strany rovnosti dávali malé množstvo zvyškov. Na to sa dá prísť skúšaním rôznych čísel. Môžeme však skúsiť využiť, že číslo \(36\) dáva zvyšok \(1\) po delení číslami \(5\) a \(7\), a teda aj \(36^n\) bude dávať zvyšok \(1\) po delení piatimi alebo siedmimi.

Pekne z toho vyjdú zvyšky po delení siedmimi. Ľavá strana \(36^n - 6\) dáva pre každé prirodzené číslo \(n\) zvyšok \(2\) po delení siedmimi. Pravá strana sa dá upraviť na tvar \(k^3-k\). Pre \(k\) dávajúce zvyšok \(0\) až \(6\) po delení siedmimi dáva výraz \(k^3 - k\) postupne zvyšky \(0\), \(0\), \(6\), \(3\), \(4\), \(1\), \(0\), (rozmyslite si to¹). Pretože pravá a ľavá strana rovnice nemajú nikdy rovnaké zvyšky po delení siedmimi, rovnica \(36^n-6 = (k-1)k(k+1)\) nemá riešenie v prirodzených číslach.

Časť b): súčin dvoch čísel

Časť b) bola ľahšia. My si ukážeme dva spôsoby, ako sa s ňou dalo popasovať. Chceme v prirodzených číslach vyriešiť rovnicu \(36^n-6 = (k-1)k\). Na túto rovnicu sa môžeme pozrieť ako kvadratickú rovnicu \[k^2-k-36^n+6=0\] s premennou \(k\). Aby mala riešenie v celých číslach, musí byť jej diskriminant druhou mocninou celého čísla, skrátene povedané štvorcom (rozmyslite si). Ten je rovný \(D = 4 \cdot 36^n -23\). Pri bližšom pohľade je len o \(23\) menší od štvorca \(4 \cdot 36^n = (2 \cdot 6^n)^2\). Štvorce majú medzi sebou čím ďalej väčšie rozostupy. Preto, ak chceme, aby \(D\) bol štvorcom, prichádza do úvahy až štvorec \((2 \cdot 6^n - 1)^2\) alebo nejaký menší. Teda musí platiť \[\begin{aligned} D = 4 \cdot 36^n -23 &\le (2\cdot 6^n-1)^2 = 4\cdot 36^n - 4\cdot 6^n + 1, \\ 6^n &\le 6,\end{aligned}\] čo platí iba pre \(n = 1\). Pre \(n = 1\) dostaneme kladné riešenie \(k = 6\) a naozaj \(36^1 - 6 = 30\) sa dá zapísať ako \(5 \cdot 6\).

Druhým spôsobom, ako si poradiť v časti b), je šikovne rozložiť výrazy v rovnici na súčin. Pomôžeme si v tom tým, že pravú stranu \(k^2 - k\) doplníme na štvorec: \[\begin{aligned} 36^n-6 &= k^2-k,\\ 4\cdot 36^n-23 &= 4k^2-4k+1,\\ (2\cdot 6^n)^2 - (2k-1)^2 = (2\cdot 6^n-2k+1)(2\cdot 6^n+2k-1) &= 23.\end{aligned}\] Zrejme ľavá zátvorka je menšia ako pravá a pravá je kladná. Obe zátvorky majú celočíslenú hodnotu, takže ak jedna je kladná, tak aj druhá musí byť kladná, pretože ich súčin je kladné celé číslo. Číslo \(23\) sa dá rozložiť na súčin kladných celých čísel len ako \(1 \cdot 23\), teda \(2\cdot 6^n+2k-1 = 23\) a \(2\cdot 6^n-2k+1=1\). Tato sústava rovníc vedie opäť k riešeniu \(k=6,n=1\).

Dostali sme tak, že bolo ukradnuté jediné číslo, a to \(n = 1\).