6. Kalorická Mľaskacia Seansa vzorové riešenie

Prvé, čo si môžeme všimnúť je, že Maťkova postupnosť musí byť neklesajúca, lebo \(a_n \geq a_{n-1}\). Preto \((a_{n+1}-a_n)\) je nezáporné, čiže môžeme odmocniť nerovnosť v zadaní. \[\begin{aligned} a_{n+1}-a_n &\leq \sqrt{a_n},\\ a_{n+1} &\leq a_n + \sqrt{a_n}.\end{aligned}\]

Vidíme, že každý člen postupnosti je nejak zhora obmedzený podľa predchádzajúceho člena a postupnosť je neklesajúca. Medzi každými dvomi po sebe idúcimi členmi \(a_{n-1}\), \(a_n\) musí byť nejaká druhá mocnina prirodzeného čísla (skrátene štvorec), lebo tam je \((a_{n+1}-a_n)^2\). Myšlienka nášho postupu bude, že druhé mocniny rastú rýchlejšie ako Maťkova postupnosť, preto sa niekde pokazí táto podmienka, a medzi nejakými dvomi nasledujúcimi členmi nebude štvorec.

Formálne, predpokladajme, že existuje vyhovujúca Maťkova postupnosť, a prídeme k sporu. Máme vzťah \(a_{n+1} \leq a_n + \sqrt{a_n}\), v ktorom môžeme člen \(a_n\) znovu odhadnúť podľa rovnakého spôsobu a pohrať sa s úpravou výrazu, ktorý dostaneme. \[\begin{aligned} a_{n+1} &\leq a_n + \sqrt{a_n} \leq a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}}} = a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{ \left( \sqrt{a_{n-1}} + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}} <\\ % &< a_{n-1} + \sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{ \left( \sqrt{a_{n-1}} + \frac{1}{2} \right)^2} = a_{n-1} + 2 \sqrt{a_{n-1}}+\frac{1}{2} < (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2\end{aligned}\]

V intervale \( \left\langle \sqrt{a_{n-1}}, \sqrt{a_{n-1}}+1 \right)\) leží len jedno celé číslo. Po umocnení na druhú dostaneme, že v intervale \( \left\langle a_{n-1}, (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2 \right)\) je najviac jeden štvorec. Keďže \(a_{n+1} < (\sqrt{a_{n-1}}+1)^2\), tak v intervale \( \left\langle a_{n-1}, a_{n+1} \right\rangle\) leží najviac jeden štvorec.

Vieme, že v oboch intervaloch \(A= \left\langle a_{n-1}, a_{n} \right\rangle\) a \( B= \left\langle a_{n}, a_{n+1} \right\rangle\) je štvorec, ale v ich zjednotení \( \left\langle a_{n-1}, a_{n+1} \right\rangle\) je najviac jeden štvorec, Čiže štvorec v A musí byť ten istý štvorec ako v B. Intervaly A, B majú len jeden spoločný bod \(a_{n}\), čiže \(a_{n}\) je štvorec.

Pre všetky \(n \leq 3\) sme dokázali, že \(a_{n}\) je štvorec. Čísla \(a_{3}\), \(a_{4}\) musia byť rôzne štvorce, lebo \((a_4-a_3)^2 \geq a_2 \geq 1\), ale zároveň v intervale \( \left\langle a_{2}, a_{4} \right\rangle\) môže byť najviac jeden štvorec, a to je SPOR.

V jedálni neservírujú ani jednu z Maťkových obľúbených postupností príloh.