6. Kopu Mikín Separujeme vzorové riešenie

Na začiatok je dobré zamyslieť sa, či stratégiu jedného z hráčov vieme overiť jednoduchšie. Je dôležité uvedomiť si matematické znenie úlohy a sformulovať, čo chceme dokázať. V našom prípade by táto časť mohla vyzerať takto:

1. Ak by sme overovali Kubovu stratégiu, pýtame sa, či vieme nájsť trojicu sčítancov, ktorá nie je deliteľná súčtom zvyšných dvoch. Toto treba overiť pre ľubovoľné pätice prirodzených čísel, ktorých súčet je \(360\). Pre tých z vás, ktorí preferujú formálny zápis: \(u, v, x, y, z \in \mathbb{N}: (u+v+x)/(y+z) \in \mathbb{N}, u+v+x+y+z = 360\).

2. V prípade, ak chceme overiť Marekovu stratégiu úloha znie takto: Hľadáme aspoň jednu päticu prirodzených čísel, ktorých súčet je \(360\) a platí, že súčet ľubovoľných dvoch sčítancov je deliteľom súčtu zvyšných troch.

Vidíme, že v prípade Marekovej stratégie je potrebné nájsť len jednu päticu čísel, pre ktoré niečo platí. To vyzerá ako jednoduchšia úloha :). Poďme ju skúsiť vyriešiť.

Pozrime sa na čísla \(n\), ktoré sú deliteľmi čísla \(360\) a sú väčšie alebo rovné ako \(5\). Mikiny rozdelíme do \(n\) rovnako veľkých skupín. Tieto skupiny následne premiestnime na \(5\) kôp. Potom sa pozrieme na to, koľko skupín je na jednotlivých kopách. Ak je na ľubovoľných troch kopách počet skupín deliteľný počtom skupín na zvyšných dvoch, bude to platiť aj pre samotné mikiny. Dobre, a čo sme si týmto pomohli?

Teraz už vieme, kde začať. Vezmime \(n=5\). Máme \(5\) skupín po \(72\) mikín. Keďže kopy nemôžu byť prázdne, každá skupina tvorí jednu kopu. Môžeme si ale ľahko uvedomiť, že nami uvedená podmienka tu neplatí, pretože \(72+72\) nedelí \(72+72+72\).

Skúsme teda \(n=6\). Vytvorili sme \(6\) skupín po \(60\) mikín. Máme však len jednu možnosť, ako tieto skupiny rozdeliť do kôp. Na jednej z kôp budú dve skupiny (\(120\) mikín) a na zvyšných kopách jedna (\(60\) mikín). Overíme, či nami zadaná podmienka platí.

Ak Kubo vyberie kopu so \(120\) mikinami, tak na ním vybraných kopách bude spolu \(120+60+60=240\) mikín. Kubo bude ale smutný, pretože na zvyšných kopách zostane \(120\) mikín a teda prehrá :( . Ak si Kubo nevyberie kopu so \(120\) mikinami, na jeho kopách bude \(60+60+60=180\) mikín. Na zvyšných dvoch kopách tak zostane \(180\) mikín, čo zase poteší Mareka, pretože Marek rád vyhráva. V oboch prípadoch teda Marek zvíťazí, čo znamená, že má výhernú stratégiu.

Komentár

Ako môžeme vidieť, nie za každou úlohou sú skryté komplikované matematické výpočty. Podobný typ úloh sa dá po správnej úvahe jednoducho odhadnúť. Za riešenie považujeme aj uvedenie konkrétnej výhernej stratégie (teda predchádzajúce dva odseky), v tomto prípade nie je potrebné uvádzať celý myšlienkový postup.