7. Kľukatého Máme Štrkáča vzorové riešenie

Medzi \(38\) úsečkami máme \(37\) bodov, v ktorých sa lomená čiara láme. Dve susedné úsečky ležia na rôznych priamkach, teda zlom medzi nimi je zároveň priesečník dvoch priamok. Keď máme \(n\) priamok, pretínajú sa v najviac \(n \choose 2\) bodoch (lebo každá dvojica priamok má najviac jeden priesečník a symbol \(n \choose 2\) hovorí presne, koľko dvojíc priamok máme). Týchto priesečníkov musí byť aspoň toľko, koľko hadových zlomov, takže \({n \choose 2} \geq 37\).

Čím máme viac priamok, tým viac priesečníkov je medzi nimi, teda čím je väčšie \(n\), tým je väčšie aj \(n \choose 2\). Pre \(n=9\) máme najviac \({9 \choose 2}=36\) priesečníkov, čo je málo, potrebujeme aspoň \(37\). Pre \(n=10\) máme \({10 \choose 2}=45\) priesečníkov, čo vyzerá, že by už mohlo stačiť.

Už vieme, že priamok bolo aspoň \(10\) a ukážeme, že to mohlo byť presne toľko. Tým pádom bude \(10\) hľadané minimum.

Takže chceme nakresliť hada, ktorý celý leží na \(10\) priamkach. Môžeme si to predstaviť aj tak, že dáme najskôr do roviny \(10\) priamok, vzniknú nám nejaké priesečníky a úsečky medzi nimi. Potom chceme nakresliť čiaru, ktorá ide po týchto úsečkách.

Ako by sme mohli rozumne umiestniť priamky? Aby sme sa v tom dobre vyznali a aby obrázok vyzeral prehľadne, asi by bolo dobré, keby je to rozmiestnenie čo najviac symetrické. Tiež potrebujeme mať veľa priesečníkov. Taký pekný symetrický útvar je pravidelný \(10\)-uholník. Keď jeho strany predĺžime, dostaneme \(10\) priamok. Potom už nie je ťažké nakresliť štrkáča dĺžky \(38\), napríklad tak ako na obrázku dole.