4. Kvetinky Musím Spojiť (κ ≤ 5) vzorové riešenie

Cieľom riešenia je ukázať, že v obdĺžniku existujú štyri body rovnakej farby tvoriace obdĺžnik so stranami celočíselnej dĺžky. Na úvod je fajn uvedomiť si, že všetky body nového obdĺžnika musia mať rovnaký desatinný rozvoj. Keďže pôvodný obdĺžnik má celočíselné rozmery, bodov s každým desatinným rozvojom bude rovnako veľa okrem tých, ktoré sú na obvode(tam nám pribudne jeden navyše). Napríklad ak je ľavý dolný roh veľkého obdĺžnika v bode \([0,0]\), tak bodov s celočíselnými súradnicami je v jednom rozmere \(5\) a v druhom \(41\), pričom body s desatinným rozvojom \(0.5\) sú v jednom rozmere len \(4\) a v druhom ich je \(40\). V ďalšom riešení budeme uvažovať tie, ktorých je viac. ¹

Na základe predošlej úvahy máme namiesto obdĺžnika už len mriežku rozmerov \(5 \times 41\) s bodmi s celočíselnými súradnicami. Bez ujmy na všeobecnosti, nech je v každom riadku \(41\) bodov a v každom stĺpci \(5\).

Keďže farby máme len štyri, v každom stĺpci sa nachádza dvojica vrcholov s rovnakou farbou. Ak sa pozrieme na to, koľko rôznych usporiadaní môže mať táto dvojica v tomto stĺpci, prídeme na to, že ich je \(\binom{5}{2} = 10\). Každá takáto dvojica však môže byť rôznej farby, preto ak berieme ohľad aj na farbu, možností máme \(4 \cdot 10 = 40\). My však máme \(41\) stĺpcov a keďže v každom z nich nejaká takáto dvojica byť musí, určite existujú dva stĺpce, v ktorých je dvojica bodov rovnakej farby na rovnakých pozíciách. Inak povedané, existujú štyri body rovnakej farby, ktoré tvoria obdĺžnik s celočíselnými dĺžkami strán.