Zadanie

Kubko zistil, že drahokam sa nachádza v jaskyni uprostred africkej džungle, kde ho stráži strašidelná príšera. Kubko sa teda vybral na dobrodružnú výpravu do Afriky. Keď tam prišiel, príšera mu zadala nasledovnú úlohu.

Daný je lichobežník \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)). Kružnica \(k_1\) sa dotýka úsečky \(AB\) a polpriamok \(AD\), \(BC\) a kružnica \(k_2\) sa dotýka úsečky \(CD\) a polpriamok \(CB\) a \(DA\). Označme \(P\) bod dotkyu kružnice \(k_1\) s úsečkou \(AB\) a \(Q\) bod dotyku kružnice \(k_2\) s úsečkou \(CD\). Dokážte, že priamky \(AC\), \(BD\), \(PQ\) prechádzajú jedným bodom.

Najprv rozoberme ak \(|AB| = |CD|\). Nech \(Y\) je priesečník uhlopriečok \(AC\) a \(BD\). Potom sú \(k_1\) a \(k_2\) stredovo súmerné podla bodu \(Y\) a teda nutne aj ich body dotykov so stranami \(P\) a \(Q\). To znamená že \(P\), \(Q\) a \(Y\) ležia na jednej priamke.

Ďalej predpokladáme že \(|AB| \neq |CD|\). Nech \(X\) je priesečník priamok \(AD\) a \(BC\). BUNV nech \(|AB| > |CD|\), tým pádom \(k_1\) je vpísanou kružnicou \(\triangle ABX\) a \(k_2\) pripísanou \(\triangle DCX\) (V opačnom prípade je \(k_1\) pripísaná, \(k_2\) vpísaná a postup je analogický). Označme \(P'\) ako priesečník priamok \(XP\) a \(CD\). Keďže \(AB \parallel CD\) tak sú \(\triangle ABX\) a \(\triangle DCX\) podobné a teda rovnoľahlé podľa bodu \(X\), tak musí byť \(P'\) zobrazením bodu \(P\) v tejto rovnoľahlosti. To znamená, že \(P'\) je bodom dotyku kružnice vpísanej \(\triangle DCX\) a podľa známej vlastnosti musí byť stredovo súmerný s bodom \(Q\) (bod dotyku kružnice pripísanej) podľa stredu strany \(CD\), čiže musí platiť : \[\frac{|DP'|}{|P'C|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.\] Na druhej strane, z rovnoľahlosti \(\triangle ABX\) a \(\triangle DCX\) dostávame rovnosť : \[\frac{|DP'|}{|P'C|} = \frac{|AP|}{|PB|},\] a teda musí platiť : \[\frac{|AP|}{|PB|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.\] Rovnako ako predtým, nech \(Y\) je priesečník úsečiek \(AC\) a \(BD\). Trojuholníky \(\triangle ABY\) a \(\triangle CDY\) sú podobné, keďže nachádzame dva striedavé uhly z rovnobežiek \(AB\) a \(CD\). Tým pádom sú tieto trojuholníky rovnoľahlé podľa bodu \(Y\) a keďže body \(P\) a \(Q\) delia strany \(AB\) a \(CD\) v rovnakých pomeroch, musia byť v tomto zobrazení navzájom obrazmi, a teda nutne musia ležať body \(P\), \(Y\), \(Q\) na jednej priamke.

image

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.