Zadanie

Veronika našla na povale babičkin recept na famóznu angreštovo-broskyňovo-cviklovo-dyňovú tortu. V recepte tiež stojí, že ak sa pri pečení použije čarovný súčin ingrediencií, bude torta nielen chutná, ale aj rozdeliteľná medzi 12 ľudí. Veronike sa to však sprvu nezdalo.

Pre štyri celé čísla \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) nazvime čarovný súčin hodnotu výrazu \((a~-~b)(a~-~c)(a~-~d)(b~-~c)(b~-~d)(c~-~d)\). Pomôžte Veronike nájsť všetky štvorice celých čísel \((a,b,c,d)\) také, že žiadne dve z nich nemajú rovnakú hodnotu a ich čarovný súčin sa dá vydeliť číslom \(12\) bezo zvyšku.

Chceme dokázať, že čarovný súčin je vždy deliteľný \(12\)-timi. To platí, ak je deliteľný tromi aj štyrmi.

Najskôr dokážeme, že je deliteľný tromi. Môžeme si všimnúť, že \((a-b)\,(a-c)\,(a-d)\,(b-c)\,(b-d)\,(c-d)\) sú všetky možné rozdiely medzi celými číslami \(a,b,c,d\).

Aby rozdiel dvoch čísel \((k-l)\) bol deliteľný celým číslom \(n\), \(k\) a \(l\) musia mať rovnaký zvyšok po delení \(n\). Napríklad, aby \((k-l)\) bolo deliteľné dvoma, tak \(k\) a \(l\) musia mať rovnaký zvyšok po delení dvoma.

Sú len tri možné zvyšky po delení tromi: \(0\), \(1\) alebo \(2\). Teda aspoň dve z čísel \(a,b,c,d\) budú mať rovnaký zvyšok po delení tromi. Rozdiel týchto dvoch čísel bude deliteľný tromi a čarovný súčin bude preto deliteľný tromi.

Teraz potrebujeme dokázať ešte deliteľnosť štyrmi. Súčin bude deliteľný štyrmi, ak budú aspoň dva z rozdielov párne. Rozdiel dvoch čísel je párny, ak majú rovnakú paritu. Ak sú všetky z čísel \(a,b,c,d\) rovnakej parity, ich rozdiely budú párne. Ak sú tri čísla rovnakej parity a jedno je opačnej, tieto tri čísla vytvoria tri párne rozdiely. Napokon, ak sú dve čísla rovnakej parity a druhé dve opačnej, obe dvojice vytvoria párny rozdiel.

Súčin všetkých rozdielov bude vždy obsahovať aspoň dva párne rozdiely a preto bude vždy deliteľný štyrmi. Okrem toho sme ukázali, že bude deliteľný aj tromi a teda bude deliteľný aj \(12\)-timi ako tvrdí zadanie.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.