Zadanie
Kde bolo, tam bolo, bolo raz jedno Uhorské kráľovstvo. V tomto kráľovstve vládla kráľovná Kika. Kika však nebola iba taká hocijaká kráľovná, ale kráľovná Miest Spálených so zlatým trojuholníkom na čele.
Majme rovnoramenný trojuholník \(ABC\), v ktorom \(|AB|=|AC|\). Bodom \(A\) veďme priamku \(p\) rovnobežnú so stranou \(BC\). Kružnica so stredom v bode \(A\), ktorá prechádza bodom \(C\) pretína priamku \(p\) v bode \(D\) takom, že uhol \(CAD\) je ostrý1. Dokážte, že bod \(D\) leží na osi uhla \(ABC\).
Teda ak existujú dva možné body \(D\), vezmime ten s ostrým uhlom.↩
Priamka \(DB\) bude osou uhla \(CBA\) vtedy, keď veľkosti uhlov \(CBD\) a \(DBA\) budú rovnaké a polovičné oproti veľkosti uhla \(CBA\). My ukážeme, že veľkosť uhla \(DBA\) je polovičná oproti veľkosti uhla \(CBA\).
Označíme \(\alpha = |\sphericalangle BAC|\). Z rovnoramennosti trojuholníka \(ABC\) vieme, že \[|\sphericalangle CBA| = |\sphericalangle ACB|= \frac{180^\circ - \alpha}{2}.\] Nakoľko úsečka \(AD\) je rovnobežná s úsečkou \(BC\), tak aj \[|\sphericalangle CAD| = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2}.\]
Nakoľko bod \(D\) je na kružnici s polomerom \(|AC|\) a stredom v bode \(A\), tak vzdialenosť \(|AD|=|AC|=|AB|\). Preto je trojuholník \(ABD\) rovnoramenný a vieme vyjadriť veľkosť uhla \(ABD\). Ten je \[|\sphericalangle ABD|=\frac{180^\circ-|\sphericalangle BAD|}{2}=\frac{180^{\circ} - \alpha - \frac{180^{\circ} - \alpha}{2}}{2}=\frac{180^{\circ} - \alpha}{4}.\]
Vidíme, že \(|\sphericalangle CBA|= 2\cdot |\sphericalangle DBA|\), a preto je skutočne úsečka \(BD\) osou uhla \(CBA\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.