7. Kombat Moháčskych Soldierov vzorové riešenie

Na začiatok by sme sa vám chceli ospravedlniť za neprimeranú náročnosť tejto úlohy. Pri vybraní úlohy sme ju mali nesprávne vyriešenú, čo sme zistili len nedávno. Podobné riešenie malo aj viacero riešiteľov. Preto veríme, že táto úloha bola poučná aj pre vás riešiteľov, aj pre nás vedúcich.

Táto úloha je ukážkou toho, že nie všetky veci v matematike sú pekné a existuje veľa úloh, ktoré majú škaredé riešenie. Ako uvidíte, táto úloha je jednou z nich. Z riešení, čo nám poslali riešitelia, sme vybrali dve. Obe obsahuje pekné myšlienky. Ich spoločnou črtou je dopracovať sa k polynomiálnej rovnici, z ktorej budeme vedieť riešenia zistiť. Najprv však uvedieme pre vaše poučenie jedno nesprávne riešenie.

Nesprávne riešenie

Keďže sústava rovníc je cyklická, tak môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že \(a\) je najväčšie z čísel \(a\), \(b\), \(c\) (inak si premenné cyklicky preznačíme). ¹ Preto je \(a - b\) nezáporné, a tak z prvej rovnice dostaneme \(\frac1c \le 1526\). Podobne je \(c - a\) a nezáporné, a preto z tretej rovnice máme \(\frac1b \ge 1526\). Spojením týchto nerovností máme \(\frac1c \le 1526 \le \frac1b\), čiže \(\frac1c \le \frac1b\). Z toho dostávame, že \(b \le c\).

Potom vieme povedať, že \(b - c\) je nekladné a podobnou úvahou z prvej a druhej rovnice dospieť k tomu, že \(\frac1c \le 1526 \le \frac1a\). Teda dostávame, že má platiť aj \(a \le c\). My však predpokladáme, že \(a\) je najväčšie, teda \(a \ge c\). To sa môže stať len ak \(a = c\). Z tretej rovnice tak dostaneme rovno, že \(0 + \frac1b = 1526\), teda \(b = 1/1526\). Sčítaním prvej a druhej zas máme, že \(a - b + b - a + \frac2a = 2\cdot 1526\), teda \(c = a = 1/1526\).

Teda rovnica má len jediné riešenie \(a = b = c = 1/1526\), ktoré zjavne vyhovuje.

Prečo je to riešenie nesprávne?

Skúste si toto riešenie pozorne prejsť a nájsť chybu.

Ako z nerovnosti \(\frac1b \ge \frac1c\) vyplýva, že \(c \ge b\)? Po chvíľke zamyslenia si isto všimnete, že táto úvaha neplatí, ak \(bc < 0\). Vtedy dokonca z toho dostávame, že ak \(a\) je najväčšie, tak musí platiť \(b \ge c\), teda nám táto úvaha nič nepovie – nedostávame žiaden dôvod, prečo by premenné nemohli byť usporiadané ako \(a > b > c\).

Správne riešenie (podľa Lucie Krajčoviechovej)

Označíme si \(k = 1526\) a premenné si substituujeme nasledovne:² \[\label{eq:subst} a = k + A,\qquad \frac1b = 3k + B, \qquad c = C - k.\qquad (1)\] Sústava rovníc sa nám tak zmení na \[\begin{aligned} {5} k + A - \frac{1}{3k + B} + \frac{1}{C - k} &=& k,\qquad A &= \frac{1}{3k + B} + \frac{1}{k - C},\label{eq:upr1}\qquad (2) \\ \frac{1}{3k + B} - C + k + \frac{1}{k + A} &=& k,\qquad C &= \frac{1}{3k + B} + \frac{1}{k + A},\label{eq:upr2}\qquad (3) \\ C - k - k - A + 3k + B &=& k,\qquad A &= B + C.\label{eq:upr3}\qquad (4) \end{aligned}\] Tretia rovnica sa nám pekne zjednodušila a tak si z nej môžeme \(A\) dosadiť do prvých dvoch: \[\begin{aligned} B + C &= \frac{1}{3k + B} + \frac{1}{k - C},\\ C &= \frac{1}{3k + B} + \frac{1}{k + B + C}.\end{aligned}\] Po odstránení zlomkov máme rovnice \[\begin{aligned} (B + C)(3k + B)(k - C) &= 4k + B - C, \label{eq:b1}\qquad (5)\\ (k + B + C)(3k + B)C &= 4k + 2B + C. \label{eq:b2}\qquad (6)\end{aligned}\] Ľavú stranu rovnice (6) si čiastočne roznásobíme \[kC(3k + B) + (B + C)(3k + B)C = 4k + 2B + C\] a pripočítame k rovnici (5), čím dostaneme \[\begin{aligned} kC(3k + B) + (B + C)(3k + B)k &= 8k + 3B, \label{eq:b1+b2}\qquad (7)\\ kC(3k + B) + kC(3k + B) &= 8k + 3B - kB(3k + B),\\ C &= \frac{8k + 3B - kB(3k + B)}{2k(3k + B)}. \label{eq:c}\qquad (8)\end{aligned}\] Dostali sme tak vyjadrenú neznámu \(C\). Keď ju dosadíme do rovnice (5), tak na ľavej strane dostaneme \[\begin{aligned} &\ \frac{kB^2 + (3 + 3k^2)B + 8k}{2k(3k + B)}(3k + B)\frac{kB^2 + (5k^2 - 3)B + 6k^3 - 8k}{2k(3k + B)} = \\ =&\ \frac{k^2B^4 + 8k^3B^3 + (21k^4 + 6k^2 - 9)B^2 + (18k^5 +34k^3 - 48k)B + 48k^4 - 64k^2}{4k^2(3k+B)}.\end{aligned}\] Na pravej strane zas máme \[\frac{3kB^2 + (17k^2 - 3)B + 24k^3 - 8k}{2k(3k+B)} = \frac{6k^2B^2 + (34k^3 - 6k)B + 48k^4 - 16k^2}{4k^2(3k+B)}.\] Keď dáme všetko na jednu stranu, dostaneme tak polynomiálnu rovnicu štvrtého stupňa s premennou \(B\) \[\label{eq:poly} P(B) = k^2B^4 + 8k^3B^3 + (21k^4 - 9)B^2 + (18k^5 - 42k)B - 48k^2 = 0,\qquad (9)\] prípadne s vyčíslenými koeficientmi \[2328676 B^{4} + 28428476608 B^{3} + 113877370172487 B^{2} + 148951600185560676 B - 111776448.\] Polynóm štvrtého stupňa má najviac \(4\) korene. Jeden z nich je \(P(-3052) = 0\), ktorý zodpovedá po dosadení riešeniu \(a = b = c = 1/1526\). Dosadením vhodných hodnôt vieme zistiť, že \(P(-4579) > 0\), \(P(-4578) < 0\), \(P(-4577) > 0\), \(P(0) < 0\) a \(P(1) > 0\). Z toho vyplýva, že polynóm \(P\) má aj tri ďalšie reálne korene \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), pre ktoré platí \(-4579 < B_1 < -4578 < B_2 < -4577 < 0 < B_3 < 1\). (Uvedomte si, že \(-3k = 4578\) a \(-2k = -3052\).) Keby sme veľmi chceli, vieme určiť aj ich explicitné formy, keďže pre riešenie polynomiálnych rovníc \(4\). stupňa existujú vzorce. My sa však uspokojíme s tým, že toto je dostatočný opis troch reálnych čísel. Pre každé \(B_i\) (pre \(i \in \{1, 2, 3\}\)) potom vieme určiť \[C_i = \frac{8k + 3B_i - kB_i(3k + B_i)}{2k(3k + B_i)} \qquad \text{a} \qquad A_i = B_i + C_i.\] Potom podľa substitúcie (1) určíme spätne hodnoty \(a\), \(b\), \(c\).

Ostáva nám už len overiť, že štyri takto určené trojice \((a,b,c)\) naozaj vyhovujú pôvodnej sústave rovníc. Majme číslo \(B\), pre ktoré platí \(P(B) = 0\) (rovnica (9)). K nemu si určíme \(C\), \(A\) postupne podľa vzťahov (8) a (4). Čísla \(A\), \(B\), \(C\) vyhovujú rovnici (4) vďaka tomu, ako sme ich zvolili. Podobne vyhovujú aj rovnici (5), lebo sme ju ekvivalentne upravili na polynomickú rovnicu (9). Rovnica (5) je však ekvivalentná s rovnicou (2), takže aj tá je splnená. Ďalej vďaka voľbe \(C\) vieme, že rovnica (7) je splnená. Tú sme dostali sčítaním splnenej rovnice (5) a rovnice (6). Preto môžeme odčítaním rovnice (5) od (7) spätne dosať rovnicu (6), ktorá je ekvivalentná s rovnicou (3). Máme tak, že čísla \(A\), \(B\), \(C\) vyhovujú sústave rovníc (2), (3) a (4). Spätnou substitúciu podľa vzťahov (1) zas dostaneme vyhovujúce riešenie pre pôvodnú sústavu.

Dostali sme tak, že naša sústava má \(4\) riešenia, a to trojicu \((1/1526, 1/1526, 1/1526)\) a tri trojice tvaru \[\left(1526 + A_i, \frac{1}{4578 + B_i}, C_i - 1526\right),\qquad \text{pre } i \in \{1, 2, 3\}.\]

Iné riešenie (podľa Lukáša Gáborika)

Na úvod úlohy si bolo fajn uvedomiť, že žiadne z trojice čísel \(a, b, c\) nemôže byť rovné nule, lebo sa nachádzajú v menovateli. Preto vieme, že pri rozoberaní možností nám stačí iba rozhodovať o kladnosti a zápornosti jednotlivých čísel \(a, b, c\).

Teraz sa poďme pozrieť na jednotlivé zo zadania zadané rovnice. Keď nám porovnávanie neznámych nevyšlo, ďalším dobrým nápadom na úvod pri riešení takéhoto typu úloh je si zadané rovnice sčítavať, odčítavať, prípadne si ich ešte niečím prenásobovať, aby sme získali nejaký nadhľad a nové informácie. V tejto úlohe si môžeme všimnúť, že ak sčítame všetky 3 rovnice dokopy, tak sa nám tam veľa premenných navzájom odčíta a dostaneme sa ku takejto rovnici:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}= 3 \cdot 1526.\qquad (10) \label{eq:1}\]

Ďalej sa vieme zbaviť zlomkov v jednotlivých počiatočných rovniciach tak, že ich postupne prenásobíme \(c\)-čkom, \(a\)-čkom a \(b\)-čkom. Potom sčítaním troch novovzniknutých rovníc získavame rovnicu:

\[a + b + c = \frac{3}{1526}. \label{eq:2}\qquad (11)\]

Vhodnými úpravami vieme obe tieto rovnice upraviť do stavu, že na pravej strane budeme mať výraz tvaru \(\frac{1}{1526}\), a teda výrazy na ľavých stranách oboch rovníc sa rovnajú. Tak si ich rovnosť zapíšme:

\[\frac{a + b + c}{3} = \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\]

Tu si môžeme všimnúť, že ak sú všetky čísla kladné, tak ide o špeciálny prípad nerovnosti medzi aritmetickým a harmonickým priemerom³, v ktorej rovnosť nastáva vtedy a len vtedy, keď \(a = b = c\). Dosadením do ľubovoľnej rovnice potom dostávame, že \(a = b = c = \frac{1}{1526}\), pričom skúškou ľahko overíme, že toto riešenie vyhovuje.

Ostáva nám ešte prešetriť prípad, keď aspoň jedno číslo z \(a\), \(b\), \(c\) je záporné. Ak by boli záporné všetky tri, tak na ľavej strane rovnice (11) by sme dostali záporné číslo, pričom číslo na pravej strane je kladné, čo je spor.

Pripusťme teraz, že dve čísla sú záporné. Keďže sústava rovníc je cyklická, tak môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že jediné kladné číslo je \(b\). Potom ale ak sa pozrieme na prvú rovnicu zo zadania, tak ľahko uvidíme, že na ľavej strane rovnice dostávame záporné číslo, zatiaľ čo číslo na pravej strane je vždy kladné, čo opäť vedie k sporu.

Nakoľko sme si práve ukázali, že ani všetky tri, ani práve dve z čísel \(a, b, c\) nemôžu byť záporné, tak platí, že záporná môže byť preto najviac jedna z neznámych. Keď sa pozrieme na to, že vieme hodnoty \(a + b + c\) a \(\frac1a + \frac1b + \frac1c\), tak je kľúčové uvedomiť si ich súvis s Vietovými vzťahmi pre kubické rovnice. Poznáme hodnotu \(a + b + c\) a ak by sme poznali aj hodnoty \(ab + bc + ca\) a \(abc\), tak by sme čísla \(a\), \(b\), \(c\) vedeli určiť ako korene kubickej rovnice. O to viac nám hrá do kariet skutočnosť, že \(abc(\frac1a + \frac1b + \frac1c) = ab + bc + ca\). Teda nám stačí už určiť len jednu z hodnôt \(ab + bc + ca\), \(abc\). Postupujme teraz tak, že v počiatočných rovniciach zo zadania presunieme neznáme so záporným znamienkom na pravú stranu a potom rovnice medzi sebou vynásobíme. Dostaneme tak:

\[\begin{aligned} \left(a+\frac{1}{c}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)\left(c+\frac{1}{b}\right) &=(1526+b)(1526+c)(1526+a), \\ a b c+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} &=1526^{3}+1526^{2}(a+b+c)+1526(a b+b c+a c)+a b c, \\(a+b+c)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{a b c} &=1526^{3}+1526^{2}(a+b+c)+1526 a b c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\end{aligned}\]

Teraz vieme využitím vzťahov z rovnice (10) a (11) nahradiť niektoré výrazy, čím túto rovnicu zjednodušíme.

\[\frac{3}{1526}+ 3\cdot1526 +\frac{1}{a b c} =1526^{3}+1526^{2}\cdot\frac{3}{1526}+1526 \cdot a b c\cdot3\cdot1526\]

\[(1526^{3}abc - 1)(3abc + 1526) = 0\]

Z toho nám priamo vyplýva, že \(abc = \frac{1}{1526^{3}}\) alebo \(abc = - \frac{1526}{3}\). My však vieme, že práve jedno z čísel \(a, b, c\) je teraz záporné. Tým pádom tiež vieme, že aj súčin \(abc\) musí byť záporný, čiže

\[abc = -\frac{1526}{3}.\]

Teraz sa ešte pozrime, že čomu sa rovná výraz \(ab + bc + ac\), čo použijeme neskôr v riešení. Vieme, že: \(ab + bc + ac = abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) a súčasne vieme, že \(abc = -\frac{1526}{3}\) a \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}=1526\). Potom platí:

\[ab + bc + ac = abc\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c\right) = -\frac{1526}{3} \cdot 3 \cdot 1526 = -1526^2 .\]

Dostali sme teda, že pre \(a\), \(b\), \(c\) má platiť \[a+b+c = \frac{3}{1526},\qquad ab + bc + ca = -1526^2 \qquad \text{a} \qquad abc = -\frac{1526}{3}.\] To však znamená, že \(a\), \(b\), \(c\) musia byť korene kubickej rovnice \[\label{eq:kubic} f(x) = x^3 -\frac{3}{1526}x^2 -1526^2x + \frac{1526}{3} = 0.\qquad (12)\]

To, že táto rovnica má tri reálne korene vieme overiť tým, že \(f(-1526) < 0\), \(f(0) > 0\), \(f(1) < 0\) a \(f(1526^2) > 0\). Nech teda \(x\), \(y\), \(z\) sú korene rovnice (12), pričom \(x > y > z\). Ako sme už ukázali vyššie, tak ak \(a\) je najväčšie, tak musí platiť \(a > b > c\). Preto trojica \((x, z, y)\) a ani jej cyklické obmeny \((z, y, x)\) a \((y, x, z)\) nevyhovujú. Ostáva „len“ overiť, že trojice \((x, y, z)\), \((y, z, x)\) a \((z, x, y)\) vyhovujú našej sústave. Vďaka cyklickosti nám to stačí overiť pre jednu z nich.

Žiaľ, spraviť skúšku správnosti nie je také jednoduché. Oproti predchádzajúcemu riešeniu je toto nepraktický tvar riešenia. Korene kubickej rovnice síce vieme nájsť⁴, ale už tieto samotné korene vyjdú dosť škaredo. Dosadiť ich do rovníc, miestami ich prevrátiť a overiť, že v každej rovnici vyjde \(1526\) je maximálne odpudivé.⁵ V záujme ochrany nášho duševného zdravia jediné, čo nám ostáva, je prenechať túto otrockú prácu počítaču. Existujú knižnice, ktoré takýto typ úprav zvládajú – miesto toho, aby si pamätali reálne čísla približne si ich pamätajú symbolicky, podobne, ako si ich my ľudia zapisujeme na papier. Rovnako vedia takéto symbolické výrazy sčítavať, odčítavať, odmocňovať, zjednodušovať … Príkladom takej knižnice je sympy v programovacom jazyku Python. Pre záujemcov uvádzame program, ktorý určí korene našej kubickej rovnice, dosadí ich do pôvodných rovníc a všetky tieto obludné výrazy (vo forme ľavá strana mínus \(1526\)) zjednoduší na \(0\), teda skúška prejde.

from sympy import Rational, Symbol, solve, simplify

m = 1526
# koeficienty polynomu
a = 1
b = Rational(-3, m)
c = - m ** 2
d = Rational(m, 3)

# Urcenie korenov a, b, c polynomu
x = Symbol('x')
a, b, c = solve(a * x**3 + b * x**2 + c * x + d)
# Teraz zapiseme vyrazy pre jednotlive rovnice (prehodime vsetko na jednu stranu).
# Program vypise zjednodusene vyrazy: su to nuly, teda a, b, c sustave vyhovuju
print(simplify(a - b + 1 / c - m))
print(simplify(b - c + 1 / a - m))
print(simplify(c - a + 1 / b - m))

Na záver podotkneme, že výpočtovú techniku sme použili iba na vykonanie skúšku správnosti. Vzhľadom na náročnosť tejto úlohy považujeme, že to je v poriadku. Zvyšok riešenia obsahuje dostatok pekných myšlienok. Pripomíname však, že pokiaľ by použitie výpočtovej techniky výrazne zjednodušilo riešenie úlohy, také riešenie zvykneme hodnotiť menším počtom bodov.

Explicitné formy riešenia

Dostali sme teda, že sústava rovníc má \(4\) riešenia: \((1/1526, 1/1526, /1526)\), \((x, y, z)\), \((y, z, x)\) a \((z, x, y)\). Približné hodnoty týchto riešení sú \(x \approx 1526.00087374437\), \(y \approx 0.000218435998252476\), \(z \approx -1525.99912625638\). Z Lukášovho riešenia sa nám podarilo určiť aj celkom jednoducho explicitné formy týchto riešení. Pre zvedavcov ich uvádzame. \[\begin{aligned} x &= \frac{1}{1526} - \frac{\left(-16268195738937\right)^{\frac{2}{3}}}{4578 \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}} + \frac{\sqrt[3]{-16268195738937} \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}}{4578}, \\ y &= \frac{1}{1526} - \frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{16268195738937} \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}}{4578} + \frac{\sqrt[3]{-1} \cdot 16268195738937^{\frac{2}{3}}}{4578 \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}}, \\ z &= \frac{1}{1526} - \frac{\sqrt[3]{16268195738937} \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}}{4578} - \frac{16268195738937^{\frac{2}{3}}}{4578 \sqrt[3]{-3 + 2328676 \sqrt{3} i}},\end{aligned}\] kde \(i = \sqrt{-1}\) je imaginárna jednotka. Áno, v týchto zápisoch sa vyskytujú komplexné čísla, no napriek tomu ide o čísla reálne.