10. Konštrukčný Mirov Seminár vzorové riešenie

Riešenie (podľa Lucie Krajčoviechovej)

Keďže \(y\in \mathbf{N}\), tak určite \(y\neq 0\), a preto môžeme podmienku zo zadania prepísať na podmienku \((10^6-10^{-6})y<x<(10^6+10^{-6})y\). Pre jednoduchosť si označíme \(m=10^6-10^{-6}\) a \(M=10^6+10^{-6}\).

Teraz by nám stačilo hľadať funkcie splňujúce rovnicu \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) na množine \([x,y] \in Z \subset \mathbf{N}\times \mathbf{N}\) danou \(my<x<My\). Toto budeme nazývať podmienkou množiny \(Z\). Zadefinujme si ešte množinu \(Z'\) danú \(my+2m+1<x<My\), ktorá je podmnožinou \(Z\). Toto budeme nazývať podmienkou množiny \(Z'\). Všetky dvojice \([x,y]\in Z'\) sú tiež z množiny \(Z\), takže pre ne platí funkcionálna rovnica zo zadania.

Teraz vieme, že pre \([x,y]\in Z'\) platí \(my+2m+1<x<My\). A preto platia aj následujúce vzťahy: \[my<x<My,\] \[m(y+1)<x-1<M(y+1),\] \[m(y+1)<x<M(y+1),\] \[m(y+2)<x-1<M(y+2).\] Nechávam na rozmyslenie. Preto môžeme napísať, že \[f(x+y)=f(x)+f(y)=f(x-1)+f(y+1),\] \[f(x+y+1)=f(x)+f(y+1)=f(x-1)+f(y+2).\] Na to, aby sme toto mohli ukázať, tak sme potrebovali ukázať, že dvojice \([x, y]\), \([x-1, y+1]\), \([x, y+1]\), \([x-1, y+2]\) vyhovujú tiež podmienke množiny \(Z\). To presne hovoria predchádzajúce nerovnosti.

Úpravou dostaneme \[f(x)-f(x-1)=f(y+1)-f(y),\] \[f(x)-f(x-1)=f(y+2)-f(y+1).\]

Porovnaním pravých strán dostaneme \[f(y+1)-f(y)=f(x)-f(x-1)=f(y+2)-f(y+1).\]

Táto rovnica musí teda platiť pre ľubovoľné \(y\), pre ktoré existuje \(x\) také, že \([x,y]\in Z'\). Kedy také \(x\) existuje? Napríklad určite vtedy keď \(My-(my+2m+1)>1\), lebo medzi dvomi číslami, ktoré sú odseba ďalej ako \(1\) je určite celé číslo. To je vtedy keď \[y>\frac{2+2m}{M-m}=10^{12}+10^6-1.\] Čiže \(y\geq 10^{12}+10^6\). Také najmenšie \(y\) označíme \(y_0=10^{12}+10^6\). A označíme konštantu \(c=f(y_0+1)-f(y_0)\). Potom vieme, že pre všetky prirodzené čísla \(y\geq y_0\) platí \(f(y+1)-f(y)=f(y+2)-f(y+1)\), takže pre všetky \(y\geq y_0+2\) platí \[\begin{aligned} f(y)=2f(y-1)-f(y-2). \label{eq:aaa}\end{aligned}\]

Teraz indukciou ukážeme, že pre všetky \(y\geq y_0\) platí \[\begin{aligned} f(y)=f(y_0) + (f(y_0+1)-f(y_0))(y-y_0)= f(y_0) + c(y-y_0). \label{eq:bbb}\end{aligned}\]

Pre \(y=y_0\) aj pre \(y=y_0+1\) tvrdenie zjavne platí. Pre \(y\geq y_0+2\) použijeme indukciu využívajúcu posledné dva kroky a rovnicu [eq:aaa], a indukčný predpoklad [eq:bbb] pre \(y-1\) a \(y-2\). Dostaneme \[\begin{aligned} f(y) & =2f(y-1)-f(y-2)=2f(y_0)+2c(y-1-y_0)-f(y_0)-c(y-2-y_0) \\ & = f(y_0) + c(y-y_0).\end{aligned}\] Tým sme induckiou ukázali, že pre všetky \(y\geq y_0\) platí \(f(y)=f(y_0)+c(y-y_0)\). Teraz zvoľme \(x=10^6y_0\), \(y=y_0\). Zjavne \(x+y_0\) aj \(x\) sú väčšie ako \(y_0\), taktiež \(my<x<My\). Takže využitím [eq:bbb] musí platiť aj \[f(y_0)=f(x+y_0)-f(x)=f(y_0)+c(x+y_0-y_0)-(f(y_0)+c(x-y_0))=cy_0.\] Teraz to iba vhodne dosadíme do [eq:bbb] \[\begin{aligned} \hspace{12em} f(y)=f(y_0)+c(y-y_0)=cy_0+c(y-y_0)=cy. \hspace{11em} (to)\end{aligned}\]

Teraz potrebujeme dokázať, že aj pre všetky \(y<y_0\) platí \(f(y)=cy\). To dokážeme indukciou, avšak tentokrát indukčný krok bude klesajúci, tj. z toho, že (to) platí pre \(y=y_0\) ukážeme, že (to) platí pre \(y=y_0-1\) a z toho následne ukážeme, že (to) platí pre \(y=y_0-2\) atď. Zároveň môžeme predpokladať, že pre všetky \(y\geq y_0\) už tvrdenie platí, pretože sme ho dokázali. Pre \(y=y_0\) pochopiteľne máme tvrdenie dokázané. Poďme dokázať, že (to) platí aj pre \(y<y_0\). Zvoľme \(x=10^6y\) zjavne podmienka množiny \(Z\) je splnená, a keďže \(x>y\) aj \(x+y>y\) tak z (to) máme: \[f(y)=f(x+y)-f(x)=c(x+y)-cx=cy.\] Rovnosť \(f(y)=cy\) teda platí ako aj pre \(y\geq y_0\) tak aj pre \(y<y_0\), a teda platí pre všetky \(y\in\mathbf{N}\).

Teraz nastala vhodná chvíľa, keď treba overiť, že všetky funkcie \(f(y)=cy\), pre ľubovoľné \(c\in \mathbf{R}\) vyhovujú zadaniu. Našťastie \(f(x+y)=c(x+y)=cx+cy=f(x)+f(y)\) platí, a preto je to riešením našej funkcionálnej rovnice.

Iný záver (podľa Jakuba Paradu):

Teda záverom máme na mysli dôkaz, že pre \(y<y_0\) (to) platí.

Zvoľme si najväčšie \(y\) pre, ktoré \(f(y)\) nie je lineárna funkcia tj. \(f(y) \neq cy\). Nech \([x,y] \in Z\). Potom môžeme písať \(f(x+y)=f(x)+f(y)\). Platí však, že \(f(x+y)\) je tvaru \(c(x+y)\) a \(f(x)\) je tiež tvaru \(cx\). Potom nutne aj \(f(y)\) je nutne \(cy\). Čo je spor. Také \(x\), \(x>y\) vždy existuje, stačí zobrať \(x=10^6 y\), a pre také číslo je (to) zaručené.