Zadanie
Uprostred stola stála krištáľová guľa. Z jedného konca na ňu hľadel jasnozrivý králik a z druhej zúfalý Kebab. Teraz už vedel, že naháňať pred bitkou králika a skočiť za ním do nory bola osudová chyba. Skončí rovnako ako Aňa, navždy stratený v Krajine matematických špásov a nikdy odtiaľto neujde. A mal pravdu, pretože vševidiaca guľa už hľadala náhodné číslo, zatiaľ čo králik mu položil prvú hádanku.
Nech vševidiaca guľa ukáže náhodné celé číslo \(x\) medzi \(1\) a \(10^{12}\)(vrátane). Aká je pravdepodobnosť, že posledné dvojčíslie čísla \(x^{3}\) bude \(11\)?
Najprv sa pozrime na to, ktoré čísla medzi \(1\) a \(10^{12}\) dajú po umocnení na tretiu posledné dvojčíslie \(11\). Nemusíme na to skúmať každé jedno číslo zvlášť. Stačí, ak sa pozrieme na zvyšky po delení číslom \(100\), teda na všetky možné posledné dvojčíslia. Totiž posledné dvojčíslie \(x\) nám určuje posledné dvojčíslia \(x^3\). Tieto zvyšky môžu byť len čísla \(0\) až \(99\). Pravdepodobnosť výskytu každého dvojčíslia je rovnaká, pretože máme čísla od \(1\) do \(10^{12}\).
Teraz nás zaujíma, koľko z týchto posledných dvojčíslí po umocnení na tretiu končí \(11\). Môžme to urobiť dvoma spôsobmi, šikovnejšie a pracne. Pracný spôsob je jednoduchý. Iba vyskúšame všetky možnosti tak, že každé číslo od \(0\) po \(99\) umocníme na tretiu a zistíme, či vyhovuje. Šikovnejší spôsob je pre tých, ktorým sa nechcelo skúšať 100 možností.
Vieme, že žiadne číslo deliteľné \(2\) po umocnení nebude končiť \(11\), lebo posledná cifra musí byť nutne párna. Rovnako, ani číslo deliteľné \(5\) nebude končiť \(11\), lebo posledná cifra bude buď \(0\), alebo \(5\). Teraz by už stačilo vyskúšať len 40 možností. Ak sa pozrieme na čísla \(0\) až \(99\), ako na zvyšky po delení \(10\), dostaneme poslednú cifru čísla. Tá po umocnení na tretiu musí byť nutne \(1\) (aby bolo posledné dvojčíslie \(11\)). Takže nám stačí vyskúšať len 4 možnosti \((1,3,7,9)\) a zistíme, že posledná cifra dvojčíslia pred umocnením môže byť len \(1\). Už len overíme, koľko z čísel \(01,11,21,31,41,51,61,71,81,91\) po umocnení na tretiu končí \(11\).
Nakoniec zistíme, že len \(71^3=357911\). Preto jediné vyhovujúce posledné dvojčíslie zo 100 možných je \(71\). Každé posledné dvojčíslie sa medzi číslami \(1\) až \(10^{12}\) vyskytuje rovnako veľa krát. Pravdepodobnosť, že posledné dvojčíslie čísla \(x^3\) bude \(11\) je \(1/100\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.