3. Kormidelníkova Mincová Senzácia vzorové riešenie

Čísla sú nesúdeliteľné práve vtedy keď ich najväčší spoločný deliteľ je \(1\). Keďže prirodzené čísla \(a\), \(b\), \(c\) sú navzájom zameniteľné, všetko, čo má platiť pre jedno z nich, platí obdobne aj pre ostatné, tak si bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že \(a \le b \le c\). Medzi číslami \(a\), \(b\), \(c\) môže byť aj rovnosť, hoci len vtedy, ak sú rovné \(1\). Podmienky zo zadania si vieme upraviť nasledovne: \[\begin{aligned} a\mid(a+b+c) \Rightarrow a\mid(b+c), \\ b\mid(a+b+c) \Rightarrow b\mid(a+c), \\ c\mid(a+b+c) \Rightarrow c\mid(a+b).\end{aligned}\] Pozrieme sa na tretiu podmienku. Keďže \(c\mid(a+b)\), tak existuje prirodzené číslo \(m\), pre ktoré platí \(m = (a+b)/c\), resp. \(mc = a+b\). Nakoľko \(a \le c\) a súčasne aj \(b \le c\), tak spolu \(a+b \le 2c\) (rovnosť nastáva len v prípade, že \(a = b = c\)). Máme dva vzťahy, v ktorých sa vyskytuje \(a+b\), teda to môžeme zapísať ako \(mc = a+b \le 2c\). Dostávame nerovnosť \(mc \le 2c\), z ktorej vyplýva, že \(m \le 2\).

Ak \(m = 2\), tak \(a+b = 2c\), čo platí len v prípade rovnosti čísel \(a\), \(b\), \(c\). Keďže musia byť navzájom nesúdeliteľné, tak jediné možné riešenie je \(a = b = c = 1\). Tým získavame prvú usporiadanú trojicu \((1,1,1)\), ktorá vyhovuje všetkým podmienkam.

Pre \(m = 1\) platí \(a+b = c\). Keď si to dosadíme do druhej podmienky, dostávame \(b\mid(a+a+b)\), resp. \(b\mid2a\). Toto môžeme interpretovať aj tak, že existuje prirodzené číslo \(n\), pre ktoré platí \(n = 2a/b\), resp. \(nb = 2a\). Vieme, že \(a \le b\), teda platí aj \(2a \le 2b\). Máme dva vzťahy, v ktorých sa vyskytuje \(2a\), čo môžeme zapísať ako \(nb = 2a \le 2b\). Dostávame nerovnosť \(nb \le 2b\), z ktorej vyplýva, že \(n \le 2\).

Nech \(n = 2\), potom dostávame vzťah \(2a = 2b\), teda \(a = b\). Aby bola splnená podmienka nesúdeliteľnosti čísel, tak musí platiť \(a = b = 1\). Dosadením do rovnice \(a+b = c\) zistíme, že \(c = 2\). Týmto sme našli ďalšiu usporiadanú trojicu \((1,1,2)\). Ešte skontrolujeme, či spĺňa všetky podmienky a uvidíme, že to tak naozaj je.

V prípade, že \(n = 1\), tak \(2a = b\). Potom \(c=a+b=a+2a=3a\). Hľadaná trojica je \((a,2a,3a)\). Tieto tri čísla sú nesúdeliteľné len ak \(a=1\). Z toho vyplýva, že poslednou usporiadanou trojicou je \((1,2,3)\). Aj táto trojica spĺňa všetky podmienky zo zadania.

Konkrétnu podobu usporiadaných trojíc nám určila nami zvolená podmienka \(a \le b \le c\). Teda k riešeniam tejto úlohy patria aj permutácie (preusporiadania) nájdených riešení. Všetky riešenia sú: \((1,1,1), (1,1,2), (1, 2, 1)\), \((2, 1, 1)\), \((1,2,3)\), \((1, 3, 2)\), \((2, 1, 3)\), \((2, 3, 1)\), \((3, 1, 2)\), \((3, 2, 1)\).