Zadanie

V časoch temného praveku neexistovali žiadne súdy ani zákony. Jediné právo bolo právo najsilnejšieho. A tak tomu bolo aj jedného teplého večera zhruba 10 000 rokov pred naším letopočtom, kedy sa traja mocní a powerful bojovníci Kameň, Kameň a Kameň rozhodli stretnúť v súboji na život a na smrť o labu starejšinovej najstaršej... šabľozubej tigrice. Tá im mala podľa starodávnej povery priniesť astrálne schopnosti. Už-už sa šli mlátiť, keď z jaskyne vybehol starešina so slovami: „Do mamutej nohy, chlapi, neblbnite! Vaše sily sú ekvivalentné, a teda pri súboji akurát všetci zomriete. Aha, pozrite, tu som vyčíslil vaše bojové schopnosti.“

Povedzme, že silu týchto bojovníkov predstavujú reálne čísla \(a\), \(b\), \(c\), z ktorých aspoň dve sú navzájom rôzne. Dokážte, že \(a+b+c=0\) je ekvivalentné1 s \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\).

  1. To znamená, že sústava rovníc \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\) platí ak \(a + b + c = 0\) a neplatí ak \(a + b + c \ne 0\).↩

V zadaní máme premenné \(a\), \(b\), \(c\) a dve podmienky na tieto premenné: \(a+b+c=0\) a \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\). Našou úlohou je ukázať, že tieto dve podmienky sú ekvivaletné. To znamená, že obe z nich sú splnené presne pre tie isté trojice hodnôt \((a,b,c)\), pričom \(a\), \(b\), \(c\) sú reálne čísla, z ktorých sú aspoň dve rôzne.

Keď chce od nás zadanie dokázať ekvivalenciu, mali by sme si uvedomiť, že máme dokázať dve implikácie. V tomto prípade potrebujeme ukázať:

  1. Ak platí \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\), tak potom platí aj \(a+b+c=0\).

  2. Ak platí \(a+b+c=0\), tak potom platí aj \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\).

Poďme na to.

Dôkaz prvej implikácie

Predpokladajme, že \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\). Vieme, že niektoré dve premenné musia byť rôzne. Vďaka symetrickosti výrazov si môžeme bez ujmy na všeobecnosti povedať, že sú to \(a\), \(c\). Zoberme si rovnosť prvých dvoch výrazov a upravujme ju: \[\begin{aligned} a^2+ab+b^2 &= b^2+bc+c^2,\\ a^2 - c^2 + ab - bc &= 0,\\ (a - c)(a + c) + b(a - c) &= 0,\\ (a - c)(a + b + c) &= 0.\end{aligned}\] Keďže \(a \ne c\), tak \(a - c\) je nenulové a musí platiť \(a + b + c = 0\).

Dôkaz druhej implikácie

Predpokladajme, že \(a + b + c = 0\). Teraz si môžeme vyjadriť \(a = - b - c\) a dosadiť ho výrazov \[\begin{aligned} a^2 + ab + b^2 &= b^2 + 2bc + c^2 -b^2 - bc + b^2 = b^2 + bc + c^2,\\ c^2 + ca + a^2 &= c^2 - bc - c^2 + b^2 + 2bc + c^2 = b^2 + bc + c^2.\end{aligned}\] Dostali sme, že platí \(a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2=c^2+ca+a^2\).

Záverečný komentár

Odporúčame vám vždy si rozdeliť dôkaz ekvivalencie na dve implikácie a neskúšať ich dokazovať naraz. Ľahšie si tak odkontrolujete, či ste niečo neprehliadli. (A taktiež to ľahšie skontroluje opravovateľ, čím ho potešíte ;)) Mnohým riešiteľom sa to nepodarilo a stratili tak zbytočné body.

Keď už máme túto formu riešenia, ľahšie nám pôjde ďalej prichádzať na riešenie. Ako sme mohli vidieť, pri úlohách s výrazmi sa oplatí ich upravovať, dávať na jednu stranu, rozkladať na súčin, vyjadrovať si premenné a dosadzovať za ne.

Samotné riešenie úlohy sme uviedli pomerne stručné. Je to hlavne preto, aby ste si mohli pozrieť, čo stačí napísať do vašich riešení. V tomto prípade sú to dve sekcie, kde dokazujeme jednotlivé implikácie. Preto pri prvej implikácii vás mohlo prekvapiť, ako sme vedeli, že zrovna \(a\) a \(c\) majú byť rôzne. Pri hľadaní riešenia si to všimneme až potom, čo sa dostaneme k rovnosti \((a - c)(a + b + c) = 0\). Tu vidíme, žeby sa nám hodilo, že zrovna \(a\) a \(c\) sú rôzne. To si, samozrejme, môžeme povedať. Formálne je však elegantnejšie napísať túto úvahu už na začiatku nášho riešenia.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.