9. Korešpondenční Matematickí Seminaristi vzorové riešenie

Máme rovnicu s celými číslami, takže sa oplatí pozrieť na nejaké deliteľnosti. Preto si ľavú stranu napíšeme ako súčin.

Ak \(n<m\), \[n! \left.\big[ 1+(n+1)(n+2) \cdots (m-1)m \right.\big] =m^n.\]

Zátvorka \([1+(n+2) \cdots m]\) má zvyšok \(1\) po delení \(m\), takže je nesúdeliteľná s \(m\), a teda aj s \(m^n\). Zároveň táto zátvorka delí ľavú stranu, takže delí aj pravú stranu rovnosti. To je nejaké podozrivé a privádza nás to k nasledujúcemu tvrdeniu (rozmyslite si, že naozaj platí):

Ak nesúdeliteľné prirodzené čísla \(a\), \(b\) spĺňajú \(a \mid b\), tak \(a=1\).

Podľa tohto tvrdenia by musela byť zátvorka \([1+(n+2) \cdots m]\) rovná \(1\), ale zjavne je aspoň \(2\), takže tadiaľto cesta k riešeniam nevedie.

Ak \(n \geq m\), \[\begin{aligned} m! \left( 1+\dfrac{n!}{m!} \right) =m^n, \\ 1 \cdot 2 \cdot\ \cdots\ \cdot(m-1)\cdot m \left( 1+\dfrac{n!}{m!} \right) =m^n.\end{aligned}\]

Ľavá strana je deliteľná číslom \((m-1)\), takže je aj pravá strana deliteľná \((m-1)\). Keďže \((m-1)\) je nesúdeliteľné s \(m^n\), tak podľa tvrdenia \(m-1=1\), teda \(m=2\). Pôvodná rovnica má tvar \[\begin{aligned} n!+2!&=2^n, \\ n!=2^n-2&=2(2^{n-1}-1).\end{aligned}\]

Zátvorka \((2^{n-1}-1)\) je nepárna alebo rovná \(0\). Rovná \(0\) nie je, lebo \(n! \neq 0\). Vidíme, že \(2\) sa vyskytuje v prvočíselnom rozklade pravej strany \(1\)-krát. Preto \(n!\) musí obsahovať \(2\) v prvočíselnom rozklade tiež len \(1\)-krát. To sa stane len, keď \(n \leq 3\). Vyskúšame všetky \(3\) možnosti a zistíme, že všetky riešenia sú \[\begin{aligned} (n,\ m)=(2,\ 2): \qquad 2!+2!=4=2^2, \\ (n,\ m)=(3,\ 2): \qquad 3!+2!=8=2^3.\end{aligned}\]