Zadanie
O pár blokov ďalej si študenti aténskej školy, čakajúc na svojho učiteľa, krátia čas zapisovaním prirodzených čísel v tvare súčtu dvoch druhých mocnín celých čísel. Pre \(5\)-ku sa im to podarilo ako \(2^2+1^2=4+1=5\). Potom prišiel ich múdry učiteľ a položil im otázku: „Je možné nájsť takéto dve celé čísla pre ľubovoľnú mocninu \(10\)-tky?“ Skúste aj vy zodpovedať túto otázku.
Poznámka: mocniny \(10\)-tky sú čísla tvaru \(10^k\) kde \(k\) je ľubovoľné prirodzené číslo.
V zadaní máme, že chceme hľadať také čísla pre ktoré platí \(a^2 + b^2 = 10^k\). Pre \(k=1,2\) ich vieme nájsť pomerne ľahko, a to \(1^2+3^2=10^1\) a \(6^2+8^2=10^2\). Teraz sa to pokúsme dokázať pre ľubovoľné \(k\).
Rozdeľme si \(k\) na párne a nepárne, takže sa budeme zaoberať osobitne prípadmi \(10^{2k+1}\) a \(10^{2k}\). Začnime s nepárnymi. Číslo \(10^{2k+1}\) vieme napísať ako \(10^{2k}\cdot10\). Následne vieme \(10\) rozpísať ako \(1^2+3^2\), \[10^{2k}(1^2+3^2)=1^2\cdot10^{2k}+3^2\cdot10^{2k}.\] Teraz vieme každý člen zapísať ako druhú mocninu a dostaneme to, čo sme chceli dokázať: \[1^2\cdot10^{2k}+3^2\cdot10^{2k}=(1\cdot10^{k})^2+(3\cdot10^k)^2=10^{2k+1}.\]
Teraz pre párne. Postup bude totožný ako pri nepárnych, len využijeme identitu \(6^2+8^2=10^2\), \[10^{2k}=10^2\cdot10^{2k-2}=(6^2+8^2)10^{2k-2}=6^2\cdot10^{2(k-1)}+8^2\cdot10^{2(k-1)}=(6\cdot10^{k-1})^2+(8\cdot10^{k-1})^2.\]
Zistili sme, že \(10^k\) sa dá napísať ako súčet dvoch štvorcov prirodzených čísel, keď \(k\) je nepárne aj párne, a teda pre všetky prirodzené čísla.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.