Zadanie
Nadránom vstúpil muž do budovy, nad ktorou práve doblikal neónový nápis „Danteho Detektívna Agentúra,“ sňal si z hlavy klobúk a aj so sakom ho zavesil na vešiak. Prešiel zo päť metrov a sadol si za svoj dubový stôl. Vyložil si naň nohy a zobral do rúk noviny. Hľadiac na titulnú stranu uvidel, že je zase niekto nezvestný. Danteho detektívnou agentúrou sa ozývalo: „Chalani! Vyzerá to, že máme znovu robotu!"
Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel \((a,b)\), pre ktoré platí \[4^a=b^2+7.\] Niekto ich zase uniesol. Nájdite ich! Bleskovo!“ kričal Dante na svojich podriadených.
Rovnicu zo zadania si upravíme nasledujúcim spôsobom \[\begin{aligned} 4^{a} - b^{2} = 7,\\ (2^{a})^{2} - b^{2} = 7,\\ (2^{a} - b)(2^{a} + b) = 7.\end{aligned}\]
Súčin dvoch celých čísel je kladný. Vieme, že \(2^{a} + b > 0\), teda aj \(2^{a} - b > 0\). Súčin týchto dvoch kladných celých čísel je \(7\). Také čísla sú iba \(7\) a \(1\).
Pretože \(2^{a} - b < 2^{a} + b,\) \[2^{a} - b = 1, \qquad 2^{a} + b = 7.\]
Sčítaním týchto rovníc dostaneme \(2 \cdot 2^{a} = 8\), teda \(a = 2\) a \(b = 3.\)
Odpoveď: rovnici vyhovuje iba dvojica čísel \((2, 3)\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.