Zadanie
Počas letu do Tokia si Kubko našiel kamaráta menom Rjoiči. Cesta ale bola dlhá, a preto, keď leteli nad Kazachstanom, navrhol Rjoiči, aby si zahrali hru kocky a vytiahol \(2020\) kociek (nie nutne rôznych veľkostí), z ktorých každá bola zlepená z nejakého počtu (možno aj jednej) malých kocôčiek s dĺžkou hrany \(1 \, \rm{cm}\). Kubko skôr, ako sa s nimi začali hrať, zistil, že ich dokáže poukladať tak, že z nich poskladá jednu veľkú kocku, ktorej hrana má dĺžku \(n \,\rm{cm}\). Nájdite najmenšiu možnú hodnotu \(n\), pre ktorú táto situácia mohla nastať.
Veľká kocka má hranu dĺžky \(n\ \rm{cm}\), preto sa skladá z \(n^3\) malých kocôčok s dĺžkou hrany \(1\, \rm{cm}\), pričom počet malých kocôčok je vždy zhodný s objemom kocky. Každá Kubkova kocka pozostáva aspoň z jednej takej malej kocôčky. Ak by veľká kocka mala hranu \(12\) alebo menej centimetrov, pozostávala by najviac z \(12^3 = 1728\) jednotkových kocôčok (ak by bola hrana menšia, bolo by aj jednotkových kocôčok menej). Vidíme teda, že \(n = 12\) ani menšie nestačí, Kubko by do veľkej kocky nedokázal zmestiť ani \(2020\) najmenších možných kociek.
Avšak \(13^3\) už je \(2197 > 2020\), takže to už vyzerá nádejne. Toto ale samo o sebe nestačí, musíme ešte nájsť vhodné veľkosti kociek, ktoré mohol Kubko mať. Inak si nemôžeme byť istí, či naozaj taká možnosť vôbec existuje.
Väčšina Kubkových kociek bude mať určite hranu (aj objem) rovný \(1\, \rm{cm}^3\), pre \(2020\) takých kociek nám chýba len \(2197-2020=177\, \rm{cm}^3\) do plného objemu. Teraz by sme chceli niektoré z nich nahradiť väčšími tak, aby sme dostali objem \(2197\, \rm{cm}^3\). Ak nahradíme kocku s hranou \(1\, \rm{cm}\) kockou s hranou \(a\, \rm{cm}\), zväčší sa objem z \(1\, \rm{cm}^3\) na \(a^3\, \rm{cm}^3\), teda o \(a^3-1\, \rm{cm}^3\), pričom počet kociek bude stále \(2020\). Pre malé hodnoty \(a \in \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\dots\}\) vieme objem zvyšovať o \(7\), \(26\), \(63\), \(124\), …\(\, \rm{cm}^3\). Z týchto čísel potrebujeme vyskladať zvýšenie objemu o \(177\, \rm{cm}^3\).
To sa dá napríklad tak, že vezmeme šesťkrát \(26\) a trikrát \(7\), čo zodpovedá tomu, že použijeme šesť kociek s hranou \(3\, \rm{cm}\), tri kocky s hranou \(2\, \rm{cm}\) a ostatných \(2011\) kociek bude mať hranu \(1\, \rm{cm}\). Môžeme si overiť, že celkový objem sedí: \(6 \cdot 3^3 + 3\cdot 2^3 + 2011 \cdot 1 = 2197\).
Ešte potrebujeme ukázať, že z týchto kociek vieme zložiť veľkú kocku s hranou dĺžky \(13\, \rm{cm}\). Aj toto treba overiť, napríklad keby sme mali dve kocky s hranou \(7\, \rm{cm}\) (a nejaké ďalšie menšie), tie dve väčšie do veľkej kocky uložiť nevieme. Rozmyslite si, že nech umiestnime kocku s hranou \(7\, \rm{cm}\) ľubovoľne, vždy zaberie priestor jednotkovej kocky v strede veľkej kocky, a teda tam nemôžu byť dve naraz.
V našom prípade to však ide jednoducho. \(6\) kociek s hranou \(3\, \rm{cm}\) uložíme do obdĺžnika \(2 \times 3\) do podstavy kocky, ten sa vojde, má rozmery \(6 \times 9\, \rm{cm}\). Tri kocky s hranou \(2\, \rm{cm}\) položíme ľubovoľným spôsobom na niektoré tri z umiestnených kociek (čím sa dostaneme do výšky \(5\, \rm{cm}\)) a zvyšok kocky vyplníme malými kockami s hranou \(1\, \rm{cm}\). Všetko sa vošlo.
Ukázali sme, že najmenšia možná hodnota \(n\) je \(13\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.