Zadanie

Kubka mrzelo, že počas prvej online prednášky sa rozprával len s čiernym monitorom, lebo študenti sa rozhodli nezapnúť kamery na svojich počítačoch. Rozhodol sa preto si prečistiť hlavu večernou prechádzkou po vychýrenej železničnej stanici Šindžuku. Sadol si na lavičku a sledoval odchádzajúce vlaky. Zrazu sa vedľa neho ktosi vrhol na lavičku a začal nadávať. Kubko sa neznámeho perfektnou angličtinou opýtal, v čom je problém. „Tu na Šindžuku si človek môže uschovať cennosti do skriniek na zámok,“ vysvetlil neznámy. „Ale ja som svoj kľúčik stratil a musím zodpovedať bezpečnostnú otázku, aby mi zamestnanci skrinku odomkli. A keďže som ultra hlúpy, dal som si ako hádanku matematickú úlohu a zabudol som jej riešenie.“ Kubko ho s potešením ubezpečil, že to nebude najmenší problém.

Cudzincova hádanka znie nasledovne: Dá sa pre každú dvojicu nenulových racionálnych čísiel \((a, b)\) nájsť dvojica prirodzených čísiel \(m,n\) takých, že \((am+b)^2+(a+nb)^2\) je prirodzené číslo?

Odpoveď je NIE. Treba sa mať vždy na pozore a nikdy nepredpokladať, že zadanie platí a hneď ho dokazovať. Je dobré si vyskúšať najprv pre pekné a potom aj nejaké škaredé konštanty, že to vychádza. Pri vyskúšaní prvých dvoch "škaredých" konštánt zistíme, že to neplatí. V našom príklade si ukážeme, že pre \(a=1, b=\frac{1}{2}\) také \(m,n\) neexistujú. Samozrejme sa to dá dokázať aj pre mnohé iné dvojice, veľa z vás to dokazovalo pre \(1\) a \(\frac{1}{4}\), či dvojicu \(\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{4}\).

Čo chceme dokazovať? Chceme ukázať, že pre všetky \(m,n\in \mathbb{N}\) je číslo \(\left(1m + \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{1}{2}n +1 \right)^2\) necelé. Ak ale roznásobíme zátvorky, dostávame

\[\begin{split} \left(m + \frac{1}{2} \right)^2 + \left(\frac{1}{2}n + 1 \right)^2 &=\frac{(2m+1)^2+(n+2)^2}{4} =\frac{4m^2+4m+4n+4+n^2+1}{4} \\ &=m^2+m+n+1+\frac{n^2+1}{4}. \end{split}\]

Ale základný trik pri práci s mocninami je znalosť tzv. kvadratických zvyškov, teda že \(n^2\) má vždy zvyšok 0 alebo 1 modulo 4. Inak povedané, \(n^2+1\) nikdy nie je deliteľné štyrmi. Teda celý výraz tiež prirodzený nikdy nebude, pre žiadnu voľbu \(m,n\). Takže skutočne, pre \(a=1, b=\frac{1}{2}\) neexistujú také \(m,n\), aby bol výraz \((am+b)^2+(bn+a)^2\) prirodzené číslo.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.