5. Kaderník Ma Skalpuje vzorové riešenie

Označme dĺžky odvesien nášho trojuholníka \(a,\, b\) a dĺžku prepony ako \(c\). Podľa zadania chceme rovnosť medzi obvodom a obsahom (bez jednotiek), takže \[\dfrac{ab}{2} = a + b + c,\] keďže trojuholník je pravouhlý. Túto vlastnosť vieme tiež použiť na zníženie počtu neznámych. Platí totiž Pytagorova veta, a tak \(c^2 = a^2 + b^2\), čiže \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Dosadíme do našej rovnosti: \[\dfrac{ab}{2} = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}.\] Od tohto momentu budeme daný výraz už len upravovať s cieľom vyjadriť jednu dĺžku pomocou druhej. Najprv sa zbavíme odmocniny tým, že ju na pravej strane osamostatníme a následne celú rovnosť umocníme na druhú. \[\dfrac{ab}{2} - a - b = \sqrt{a^2 + b^2}\] \[\dfrac{a^2b^2}{4} + a^2 + b^2 - a^2b - ab^2 + 2ab = a^2 + b^2\] \[\dfrac{a^2b^2}{4} - a^2b - ab^2 + 2ab = 0\] V poslednom kroku sme odčítali \((a^2 + b^2)\) od oboch strán. Výsledný výraz má byť rovný nule. Obsahuje tiež v každom člene \(ab\). Keďže sa jedná o strany trojuholníka, mali by byť kladné, a teda môžeme rovnicu predeliť \(ab\). \[\dfrac{ab}{4} - a - b + 2 = 0\] \[ab - 4a - 4b + 8 = 0\] \[a(b - 4) = 4b - 8\] \[a = \dfrac{4b - 8}{b - 4}= \dfrac{4(b - 4) + 8}{b - 4} = 4 + \dfrac{8}{b - 4}\] Pri vyjadrení \(a\) sme delili výrazom \((b - 4)\). Ľahko overíme, že je nenulový. Ak by \(b = 4\), dostali by sme \(a\cdot 0 = 8\), čo isto neplatí.

Na nájdenie konkrétnych \(a,\, b\) využijeme fakt, že obe majú byť celé čísla. Potom vidíme, že číslo \((b - 4)\) musí byť deliteľom \(8\). Deliteľmi \(8\) sú \(1,\, 2,\, 4,\, 8\) a ich záporné verzie. Pre kladné delitele dostaneme možné dvojice \((a, b)\): \((12, 5),\, (8, 6),\, (6,8),\, (5, 12)\). Pre záporné delitele bude \(b\) kladné len v prípade \(-1,\, -2\), avšak \(a\) presne naopak. Keďže sme v našom postupe umocňovali, mali by sme overiť, či naozaj všetky dané možnosti vyhovujú zadaniu. Ľahko overíme, že trojuholník \(5, 12, 13\) má obsah aj obvod \(30\) a trojuholník \(6, 8, 10\) má obvod aj obsah \(24\). Iné riešenia neexistujú.