Zadanie
„Buď pozdravený, muž zákona!“ vyšlo z úst náčelníka Komančov Mocného Sysľa počas toho, ako Sgt. Peppera obkľúčili ale dva tucty Indiánov. „Ďakujem Ti, že si reagoval na našu výzvu v poli a prišiel sem. Pokrvný brat musí pokrvnému bratovi pomôcť. Naša jednotka včera znovu zajala 47 zlatokopov a moji náčelníci si potrebujú rozdeliť ich skalpy. Ale o to nejde. To už vedia. To si nám už včera vysvetlil. Iné potrebujeme. Vyriešiť takúto úlohu by sa hodilo. Že načo nám to je? Hááá, do toho ťa nič nie je!“
Nech \(a,b,c\) sú kladné reálne čísla, pre ktoré platí \(abc\ge1.\) Dokážte, že \[a^4+b^3+c^2\ge a^3+b^2+c.\]
Brute-force AG riešenie spočíva v použití váženej AG nerovnosti, t.j. ak platí pre kladné \(\lambda_1+\dots+\lambda_n=1\), tak pre všetky kladné reálne čísla \(x_1\dots x_n\) platí
\[\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n\geq x_1^{\lambda_1}\cdots x_n^{\lambda_n}.\] Ak ste sa s AG nerovnosťou v takejto forme nestretli, checknite napr TU.
Skúsime teda použiť takúto nerovnosť pre \(x_1=a^4, x_2=b^3, x_3=c^2\). Keďže \(\lambda_i<1\), tak budeme potrebovať viac nerovností, ktoré potom sčítame, aby na ľavej strane vyšlo \(a^4 + b^3+c^2\) (a dáva zmysel že budú tri). Treba iba trochu skúšať a hrať sa zo zlomkami, aby vyšlo napríklad toto:
\[\begin{aligned} \frac{21}{26}a^4 + \frac{2}{26}b^3 + \frac{3}{26}c^2\geq a^{\frac{84}{26}}b^{\frac{6}{26}}c^{\frac{6}{26}}&=(abc)^{\frac{6}{26}}a^3\geq a^3\\ \frac{2}{26}a^4 + \frac{20}{26}b^3 + \frac{4}{26}c^2\geq a^{\frac{8}{26}}b^{\frac{60}{26}}c^{\frac{8}{26}}&=(abc)^{\frac{8}{26}}b^2\geq b^2\\ \frac{3}{26}a^4 + \frac{4}{26}b^3 + \frac{19}{26}c^2\geq a^{\frac{12}{26}}b^{\frac{12}{26}}c^{\frac{38}{26}}&=(abc)^{\frac{12}{26}}c^1\geq c^1.\\\end{aligned}\] Sčítaním všetkých nerovností získame požadovanú nerovnosť.
Trikové riešenie spočíva vo všimnutí si nasledovných nerovností:
\[\begin{aligned} c^2-c&\geq c-1\\ b^3-b^2&\geq b-1\\ a^4-a^3&\geq a-1. \\\end{aligned}\] Tie platia, pretože \(a^4-a^3-a+1=(a^3-1)(a-1)=(a-1)^2(a^2+a+1)\), čo je zjavne nezáporné (rovnako pre \(b,c\)). Ich sčítaním a použitím klasického AG získame, čo chceme: \[a^4+b^3+c^2-a^3-b^2-c\geq a+b+c-3\geq 3\sqrt[3]{abc}-3\geq 3\sqrt[3]{1}-3= 0.\]
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.