1. Knižôčka Mantavého Spolupracovníka vzorové riešenie

Zaujíma nás, čo sa bude diať, ak súčet čísel \(a\), \(b\), \(c\) nie je deliteľný číslom \(3\), preto nemusíme riešiť, čo sa bude diať, ak je súčet čísel \(a\), \(b\), \(c\) deliteľný číslom \(3\). Teda napríklad možnosť, že všetky čísla majú rôzne zvyšky po delení číslom \(3\). Vtedy si čísla \(a\), \(b\), \(c\) môžeme zapísať ako: \(3k\), \(3l + 1\), \(3m + 2\), kde \(k\), \(l\), \(m\) sú prirodzené čísla. Ich súčet potom bude: \(3(k + l + m + 1)\), čiže bude deliteľný číslom \(3\). Túto možnosť teda môžeme vylúčiť.

O ostatných možnostiach vieme určite povedať, že v každej z nich budú mať aspoň dve z čísel \(a\), \(b\), \(c\) rovnaký zvyšok po delení číslom \(3\) (lebo možnosť, že budú mať všetky \(3\) čísla rôzne zvyšky sme už vylúčili). Keďže v jednotlivých zátvorkách výrazu \((a - b)(b - c)(c - a)\) máme všetky možné dvojice týchto čísel, tak v niektorej z nich bude musieť byť aj dvojica, ktorá má rovnaký zvyšok po delení číslom \(3\). Ak ale od seba odčítame dve čísla, ktoré dávajú rovnaký zvyšok po delení číslom \(3\), tak výsledkom bude číslo deliteľné \(3\), keďže vtedy si zas môžeme tieto dve čísla zapísať ako: \(3k + x\), \(3l + x\), kde \(k\) a \(l\) sú nezáporné celé čísla a \(x\) je ich zvyšok po delení číslom \(3\). Ich rozdiel potom bude \(3(k-l)\) alebo \(3(l-k)\), čo je v oboch prípadoch násobok čísla \(3\). Takže ak súčet čísel \(a, b, c\) nebude deliteľný \(3\), musí byť aspoň jedna zo zátvoriek výrazu \((a - b)(b - c)(c - a)\) deliteľná číslom \(3\), a preto potom aj celý súčin bude deliteľný číslom \(3\).