4. Kubo Mešká Strápený vzorové riešenie



Začnime tým, že si zakreslíme náčrt zadania. Vyzerať môže tak ako nižšie na obrázku, pričom našou úlohou je zistiť pomer obsahov zvýrazneného šesťuholníka \(DRESFT\) a trojuholníka \(ABC\).

Počítať rovno obsah šesťuholníka je celkom komplikované, poďme si to teda zjednodušiť a zamerajme sa najprv len na nejakú jeho menšiu časť. Trojuholník \(ABC\) je spojnicami vrcholov s bodom \(P\) rozdelený na tri menšie trojuholníky, pozrime sa teda bližšie na jeden z nich, napríklad trojuholník \(ABP\). Na obrázku máme napravo jeho detail.

Zamyslime sa najprv nad tým, čo zaujímavé platí o čiarach, ktoré už máme zakreslené v obrázku. Úsečky \(AE\) a \(DB\) spájajú stredy strán trojuholníka \(ABP\) s ich protiľahlými vrcholmi, ide teda o jeho ťažnice. Priesečník ťažníc, v tomto prípade bod \(R\), je ťažiskom trojuholníka \(ABP\). O ťažniciach platí, že ich ťažisko rozdeľuje vždy na dve časti v pomere dĺžok \(1\) ku \(2\) (dlhšia je časť ťažnice pri vrchole trojuholníka). V tomto prípade teda vieme povedať, že dĺžka \(RB\) je dvojnásobná oproti dĺžke \(DR\).

Nás zaujímajú hlavne obsahy útvarov na obrázku, pozrime sa teda na ne. Keďže máme nejakú informáciu o úsečkách \(RB\) a \(DR\), mohlo by nám to niečo hovoriť aj o trojuholníkoch, ktoré tieto úsečky tvoria. V súvislosti s počítaním obsahov trojuholníkov sa nám oplatí všimnúť si, že trojuholníky \(ABR\) a \(ARD\) majú rovnakú výšku na stranu oproti vrcholu \(A\) (teda na strany \(RB\) a \(DR\)). Obsah trojuholníka vypočítame ako polovicu súčinu dĺžok jednej zo strán trojuholníka a výšky trojuholníka na túto stranu. V našom prípade sa pozeráme na trojuholníky \(ABR\) a \(ARD\), ktoré majú rovnakú výšku pri vrchole \(A\), a pomer protiľahlých strán je \(1\) ku \(2\). Z toho vyplýva, že aj pomer obsahov týchto trojuholníkov bude \(1\) ku \(2\).

Toto sme zistili na základe ťažnice \(DB\), rovnaké vzťahy však budú fungovať aj pre ťažnicu \(AE\). Preto aj pomer obsahov trojuholníkov \(BER\) a \(ABR\) bude \(1\) ku \(2\). Tieto pomery vieme vyjadriť aj tak, že si obsah jedného z trojuholníkov označíme neznámou \(x\). Potom bude platiť, že obsah trojuholníka \(ARD = x\), obsah \(ABR = 2x\) a obsah \(BER = x\).

V trojuholníku \(ABP\) nám chýba informácia už len o obsahu štvoruholníka \(DREP\). Ešte raz sa teda pozrieme na niektorú z ťažníc, napríklad ťažnicu \(AE\). Táto ťažnica delí trojuholník \(ABP\) na dva trojuholníky z rovnakými obsahmi (lebo \(BE\) a \(EP\) majú rovnaké dĺžky a tiež rovnakú výšku na protiľahlý vrchol). Jeden z nich je trojuholník \(ABE\) s obsahom \(3x\), preto aj trojuholník \(AEP\) musí mať obsah \(3x\). Keďže trojuholník \(ARD\) má obsah \(x\), zostáva štvoruholník \(DREP\), ktorého obsah bude rovný \(2x\). Obsah celého trojuholníku \(ABP\) je tak \(6x\) a obsah štvoruholníka \(DREP\) je jedna tretina z toho.

Zistili sme aké sú pomery útvarov vo vnútri trojuholníka \(ABP\). Všetko čo sme zistili o tomto trojuholníku zároveň musí platiť aj o zvyšných dvoch trojuholníkoch \(PBC\) a \(APC\) pretože vznikli rovnakým spôsobom. Šesťuholník \(DRESFT\) zo zadania zasahuje do všetkých troch týchto trojuholníkov. Vieme, že v každom z nich zaberá jednu tretinu ich obsahu, bude teda tiež platiť, že obsah \(DRESFT\) je jednou tretinou obsahu trojuholníka \(ABC\). A to sme sa snažili zistiť.