5. Konvergencia Mysle Števkinej vzorové riešenie

Označme si funkciu \(f(x)=x \cdot \{x\}\). Pomôže si uvedomiť, že úloha sa nás vlastne pýta, pre koľko čísel \(x\) platí \(f(x)=17\), t. j. koľko priesečníkov má graf funkcie \(f(x)\) s konštantou \(17\). Dolná celá časť \(\lfloor x \rfloor\) čísla \(x\) sa mení skokovito – len keď \(x\) nadobudne celočíselnú hodnotu, tak \(\lfloor x \rfloor\) sa zväčší o \(1\). Konkrétne, \(\lfloor x \rfloor\) je konštantná funkcia na intervaloch \(x \in \left< n,\ n+1 \right)\), kde \(n\) je ľubovoľné nezáporné celé číslo.

Pozrime sa na celú funkciu \(f(x)\) na intervale \(x \in \left< n,\ n+1 \right)\). Zložka \(x\) je lineárna rastúca funkcia. Zložka \(\{ x\}=x-\lfloor x \rfloor\) je tiež lineárna funkcia (pretože \(\lfloor x \rfloor\) je konštanta) a je tiež rastúca. Keďže \(f(x)\) je súčin dvoch spojitých rastúcich funkcií, tak \(f(x)\) je spojitá¹ rastúca na každom intervale \(x \in \left< n,\ n+1 \right)\).

Zistená vlastnosť nám pomôže, pretože spojitá rastúca funkcia \(f(x)\) môže pretnúť konštantu \(17\) najviac raz na každom intervale \(x \in \left< n,\ n+1 \right)\). Zistime, pre ktoré \(n\) nastane toto pretnutie, a pre ktoré nie.

Ak \(x=n\), tak desatinná časť \(\{ x\}\)=0, čiže \(f(x)=0\). Na každom intervale \(\left< n,\ n+1 \right)\) teda hodnota funkcie \(f(x)\) začína na \(0\) a ďalej rastie. Otázka je, či nadobudne alebo prekročí hodnotu \(17\). Keď sa \(x\) blíži k \(n+1\), tak \(\{ x\}\) sa blíži k \(1\), takže celý výraz \(f(x)=x \cdot \{x \}\) sa blíži² ľubovoľne blízko k \(n+1\), hoci túto hodnotu nikdy nedosiahne. Na intervale \(\left< n,\ n+1 \right)\) nadobudne \(f(x)\) všetky hodnoty \(0 \leq f(x) < n+1\). To znamená, že \(f(x)=17\) nastane práve vtedy, keď \(17 < n+1\), t.j. pre \(n \geq 17\).

Nakoniec zoberieme do úvahy obmedzenie zo zadania \(x \leq 2021\). Posledný celý obsiahnutý interval je \(x \in \left< 2020, 2021 \right)\), čiže \(n=2020\). Pre \(n=2021\) je v definičnom obore už len jeden bod \(x=2021\), pre ktorý \(f(x)=0\), čiže nenastane rovnosť. Intervaly, v ktorých nastane \(f(x)=17\), sú pre \(17 \leq n \leq 2020\). Takýchto \(n\) je \(2020-16=2004\). Dostávame, že \(x \cdot \{x\}=17\) platí pre \(2004\) rôznych \(x\).

Iné riešenie

Ak si náhodou neuvedomíme fintu o pretínaní rastúcich funkcií s predchádzajúceho riešenia, ale zato sa nám chce počítať, tak budeme postupovať nasledovne.

Pri počítaní s celými a desatinnými číslami sa často hodí zápis čísla \(x\) ako \(x= \lfloor x \rfloor + \{ x \}=d+c\), kde \(d=\lfloor x \rfloor\) a \(c=\{ x \}\). Naopak ak máme dané celé číslo \(d\) a číslo \(0 \leq c <1\), tak je tým jednoznačne určené číslo \(x=d+c\). Prepíšeme zadanie v nových premenných: \[x \cdot \{x\}=(d+c)c=17\] a dostávame kvadratickú rovnicu \[\begin{aligned} c^2+dc-17=0.\end{aligned}\]

Vyjadrovať \(d\)-čko z tejto rovnice nemá veľmi zmysel, lebo \(c\) môže byť ľubovoľné reálne číslo a potom by aj \(d\) vychádzalo vo veľa prípadoch desatinné, nevedeli by sme ľahko zabezpečiť, aby \(d\) bolo celé. Preto vyjadríme \(c\)-čko,

\[c=\frac{-d \pm \sqrt{d^2+4 \cdot 17}}{2}.\]

Musí platiť \(0 \leq c < 1\). Menší koreň je však vždy záporný, takže ostáva nám podmienka

\[0 \leq \frac{-d+\sqrt{d^2+68}}{2} < 1.\]

Označme \(D=d^2+68\). Vidíme, že \(D>d^2\), takže \(\sqrt{D} > d\), čiže \(c\) je určite kladné. Ostala len jedna podmienka \[\begin{aligned} \frac{-d+\sqrt{d^2+68}}{2} &< 1, \\ -d+\sqrt{d^2+68} &< 2, \\ \sqrt{d^2+68} &< d+2, \\ d^2+68 &< (d+2)^2=d^2+4d+4, \\ 68 &< 4d+4, \\ 4d &> 64, \\ d&>16.\end{aligned}\] Všimnite si, že umocnenie na druhú je v tomto prípade ekvivalentná úprava, pretože na oboch stranách máme kladné čísla.

Pre každé \(d>16\) vieme dopočítať vhodné \(c\) zo vzťahu \[c=\frac{-d + \sqrt{d^2+4 \cdot 17}}{2}\] a tým máme jednoznačne dané \(x=d+c\), ktoré spĺňa \(x \cdot \{x\}=17\), keďže sme robili len ekvivalentné úpravy. Každé \(x\) je teda dané celým číslom \(d\), pre ktoré platí \(16 < d \leq 2020\) (\(d=2021\) by už nesedelo, lebo \(c\) je kladné a \(d+c>2021\)). Takýchto čísel je \(2004\), čo je riešením úlohy.