Zadanie

Racionálne číslo \(r\) nazvývame mocné a powerful, ak ho vieme vyjadriť v tvare \[\frac{p^k}{q}\] pre nejaké nesúdeliteľné kladné celé čísla \(p\), \(q\) a nejaké celé číslo \(k > 1\). Nech \(a\), \(b\), \(c\) sú kladné racionálne čísla, pre ktoré platí \(abc = 1\). Predpokladajme, že existujú kladné celé čísla \(x\), \(y\), \(z\) také, že \(a^x + b^y + c^z\) je celé číslo. Dokážte, že každé z čísel \(a\), \(b\), \(c\) je mocné a powerful.

 Na začiatok by som iba rád poznamenal, že táto úloha bola asi najťažšia úloha KMS za celý rok (odovzdali ju iba 4 ľudia). Bola veľmi technická a iba ťažko sa človek nestratí v značeniach.

Značenia:

  • \(a=\dfrac{a_1}{b_1}, \quad b=\dfrac{a_2}{b_2}, \quad c=\dfrac{a_3}{b_3}, \quad\) kde \(a_i,\ b_i\) sú nesúdeliteľné (t. j. zlomok je v základom tvare),

  • \(a_1=p_1^{\alpha_1}\dots p_l^{\alpha_l}\) pre nejaké prvočísla \(p_i\) a prirodzené \(\alpha_i\).

Chceme dokázať, že \(\operatorname{nsn}(\alpha_1, \dots, \alpha_l)>1\). Potom sa \(a_1\) dá vyjadriť ako mocnina vyššia ako \(1\), a teda \(a\) je mocné a powerful. Zo symetrie potom plynie že aj \(b,c\) sú mocné a powerful. Predpokladajme tiež \(a_1>1\), ináč sa \(a_1\) dá napísať triviálne ako \(k\)-ta mocnina \(1\). Teda \(a_1\) naozaj obsahuje prvočíslo \(p_1\) v svojom rozklade.

Pozorovanie 1 \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3\).

Dôkaz: To plynie z predpokladu \(abc=1\).

Pozorovanie 2 \(b_1^x\mid b_2^yb_3^z\),\(b_2^y\mid b_1^xb_3^z\),\(b_3^z\mid b_1^xb_2^y\).

Dôkaz: Dokážeme iba prvé z nich, zvyšné sú symetrické. Zo zadania vieme, že \[a^x+b^y+c^z=\frac{a_1^xb_2^yb_3^z +b_1^xa_2^yb_3^z +b_1^xb_2^ya_3^z }{b_1^xb_2^yb_3^z}\] je celé číslo. Nutne teda \(b_1^x\) musí deliť celý čitateľ, \(b_1^x\mid a_1^xb_2^yb_3^z +b_1^xa_2^yb_3^z +b_1^xb_2^ya_3^z\). No ale keďže \(b_1^x\) zjavne delí druhý a tretí člen a \(b_1^x\) je nesúdeliteľné s \(a_1^x\), tak z toho toto pozorovanie plynie.

Pozorovanie 3 \(p_1\mid a_1, b_2, b_3\), taktiež \(p_1\nmid b_1, a_2, a_3\).

Dôkaz: To, že \(p_1\mid a_1\) plynie z definície čísla \(p_1\). Celá časť \(p_1\nmid b_1, a_2, a_3\) plynie z nesúdeliteľnosti dvojíc \(a_i, b_i\). Stačí teda dokázať \(p_1\mid b_2, b_3.\) Keďže \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3\) a \(p_1\) delí ľavú stranu, nutne \(p_1\mid b_2 b_3.\) Ale z druhého pozorovania plynie, že ak \(p_1\mid b_2\), musí nutne deliť aj \(b_1^xb_3^z\), no \(p_1\) je nesúdeliteľné s \(b_1\), a teda nutne musí deliť aj \(b_3\). Analogicky ak \(p_1 \mid b_3\), tak delí aj \(b_2\). Keďže \(P_1\) delí aspoň jedno z \(b_2, b_3\), tak delí obe.

Pre tých čo nepoznajú p-adické značenie, tak \(\nu_p(n)\) je najväčšia mocnina čísla \(p\) deliaca \(n\). Napríklad \(\nu_3(54)=3\) pretože \(3^3\mid 54\) ale \(3^4\nmid 54\).

Pozorovanie 4 \(\nu_{p_1}(b_2)\cdot y = \nu_{p_1}(b_3)\cdot z\).

Dôkaz: Keďže \(b_2^y\mid b_1^xb_3^z\) no a \(p_1, b_1\) sú nesúdeliteľné, tak nutne \(p_1^{(\nu_{p_1}(b_2)y)}\mid p_1^{(\nu_{p_1}(b_3)z)}\). Teda \(\nu_{p_1}(b_2)y\leq \nu_{p_1}(b_3)z\). Opačne, z tretieho vzťahu \(b_3^z\mid b_1^xb_2^y\) symetricky dostaneme, že \(\nu_{p_1}(b_3)z\leq \nu_{p_1}(b_2)y\).

To isté platí aj pre zvyšné prvočísla \(p_i\) pre všetky \(i=1, \dots, l: \nu_{p_i}(b_2)\cdot y = \nu_{p_i}(b_3)\cdot z\).

Pozorovanie 5 \(\alpha_i=\nu_{p_i}(b_2) + \nu_{p_i}(b_3)\) pre každé \(i\leq l\).

Dôkaz: To je kombinácia prvého a tretieho pozorovania. Platí, že \(p_1\) sa nachádza v ľavej strane rovnice \(a_1a_2a_3=b_1b_2b_3\) iba v čísle \(a_1\), a to práve \(\alpha_i\) krát. Opačne, na pravej strane rovnice sa nachádza v číslach \(b_2, b_3\), a to práve \(\nu_{p_i}(b_2)\) a \(\nu_{p_i}(b_3)\) krát.

Finish: Zo štvrtého pozorovania plynie

\[\frac{y}{z}=\frac{\nu_{p_1}(b_3)}{\nu_{p_1}(b_2)} = \frac{\nu_{p_2}(b_3)}{\nu_{p_2}(b_2)}=\dots=\frac{\nu_{p_l}(b_3)}{\nu_{p_l}(b_2)}.\] Značenie:

  • \(k_i=\operatorname{NSD}[\nu_{p_i}(b_3), \nu_{p_i}(b_2)]\),

  • Dole prepíš \(d_i= \frac{\nu_{p_1}(b_2)}{k_i}\), hore prepíš \(h_i= \frac{\nu_{p_1}(b_3)}{k_i}\). Teda \(\frac{h_i}{d_i}\) je zlomok \(\frac{\nu_{p_i}(b_3)}{\nu_{p_i}(b_2)}\) v základnom tvare.

  • \(\frac{y}{z}=\frac{h}{d}\) pre nejaké nesúdeliteľné \(h,d\geq 1\).

Potom \[h+d = h_i+d_i = \frac{\nu_{p_i}(b_2) + \nu_{p_i}(b_3)}{k_i}.\] Nutne teda \(h+d\mid \nu_{p_i}(b_2) + \nu_{p_i}(b_3)\) pre každé \(i\leq l\). Z piateho pozorovania ale máme \(\alpha_i=\nu_{p_i}(b_2) + \nu_{p_i}(b_3)\), teda aj \(1< h+d\mid \alpha_i\). To je ale to, čo sme chceli dokázať. Našli sme číslo väčšie ako jedna ktoré delí všetky alfy, a teda \(\operatorname{nsn}(\alpha_1, \dots, \alpha_l)>1\), číslo \(a\) je mocné a powerful.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.