5. Krásni, Múdri, Skromní vzorové riešenie



Na začiatok si všimnime, že v úlohe máme tri písmenká \(k\), \(m\), \(s\), o ktorých vieme, že tvoria aritmetickú postupnosť. Aritmetická postupnosť je však jednoznačne určená nejakým svojím členom a diferenciou, čím by sme si vedeli znížiť počet neznámych z troch na dve. Ďalšie zaujímavé pozorovanie je, že \(k\) a \(s\) sú rovnako vzdialené od \(m\) a keby sme ich vymenili v druhej podmienke, nič sa nezmení. Čo znamená, že nám môže pomôcť, keď si túto aritmetickú postupnosť určíme práve jej stredným členom \(m\), pretože sa potom niektoré členy môžu jednoduchšie vykrátiť.

Nech teda čísla zo zadania tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou \(d = m-k = s-m > 0\). Potom si \(k\) a \(s\) vzhľadom na \(m\) vieme vyjadriť ako \(k=m-d\) a \(s=m+d\). Poďme sa pozrieť, čo sa nám následne stane s druhou podmienkou: \[\begin{aligned} k^2+m^2+s^2 &= m(m-k)(s-m)\text,\nonumber\\ (m-d)^2+m^2+(m+d)^2 &= mdd\text,\nonumber\\ m^2-2md+d^2+m^2+m^2+2md+d^2 &= md^2\text,\nonumber\\ 3m^2 &= md^2-2d^2\text,\nonumber\\ \frac{3m^2}{m-2} &= d^2 \qquad (1) \text,\end{aligned}\] tu v poslednom kroku delíme výrazom \(m-2\), takže nesmie byť \(0\). Pre \(m=2\) však nedostaneme žiadne riešenie rovnice.

Pozrime sa ďalej na najväčšieho spoločného deliteľa čísel \(m^2\) a \(m-2\) - to je najväčšie také celé číslo, že aj \(m^2\) aj \(m-2\) sú oba násobkom tohto čísla. Označme si ho \(p\). Potom ale existujú čísla \(a,\ b\) také, že \(m^2=pa\) a \(m-2=pb\), kde \(a,\ b\) sú nesúdeliteľné (tzn. nemajú žiadneho spoločného deliteľa). Teraz by sme sa radi dozvedeli niečo o čísle \(p\). Všimnime si, že ak zoberieme nejaký násobok \(m^2\) a pripočítame k nemu (resp. od neho odpočítame) nejaký násobok \(m-2\), tak keďže obe čísla \(m^2\) aj \(m-2\) sú deliteľné \(p\), musí byť deliteľný \(p\) aj výsledný súčet (resp. rozdiel). Zjavne nám takýto postup dá pomerne veľa informácie, ak nájdeme konštantu nezávislú od \(m\), ktorá je deliteľná \(p\). Hľadáme teda také čísla \(x,\ y\in\mathbb Z\), že \[xm^2 + y(m-2)\] je konštanta vzhľadom na \(m\). Tu si však môžeme spomenúť na vzorec na rozdiel štvorcov, vďaka ktorému \((m-2)(m+2)=m^2-4\). Keď teda zvolíme \(x=1\) a \(y=-(m+2)\), dostaneme: \[4 = m^2 - (m-2)(m+2) = pa - pb(m+2) = p[a-b(m+2)]\text,\] z čoho máme, že \(p\mid4\)¹, a teda najväčší spoločný deliteľ \(m^2\) a \(m-2\) je \(1\), \(2\) alebo \(4\).

Dosadením \(m^2=pa\) a \(m-2=pb\) do rovnice (1) dostaneme \[d^2 = \frac{3m^2}{m-2}=\frac{3pa}{pb}=\frac{3a}{b}\text.\] No a keďže \(d^2\) je celé číslo, musí byť celé číslo aj zlomok na pravej strane. Nakoľko sú však \(a,\ b\) nesúdeliteľné, vytvára nám to podmienku \(b\mid3\), čo však vieme zapísať aj tak, že existuje celé číslo \(l\) také, že \(bl=3\). Dosadením \[b=\frac{m-2}{p}\] z toho vieme dostať \[\frac{(m-2)l}{p}=3\] a následne \((m-2)l=3p\), z čoho vidíme, že \(m-2\mid3p\). Pre \(p\in\{1,2,4\}\) z toho dostávame postupne podmienky \(m-2\mid3,\ m-2\mid6,\ m-2\mid12\). Delitele trojky sú však aj deliteľmi dvanástky a analogicky delitele šestky sú aj deliteľmi dvanástky, preto stačí preskúmať \(m-2\mid12\). Zjavne stačí preskúmať kladné delitele, pretože pre záporné delitele by bol menovateľ zlomku na ľavej strane (1) záporný. Potom by bol celý zlomok záporný a nemohli by sme ho odmocniť.

Ako vidíme, jediné celočíselné riešenia sú \((m,\ d)\in\{(5,\ 5),\ (14,\ 7)\}\), a teda \((k,\ m,\ s)\in\{(0,\ 5,\ 10),\ (7,\ 14,\ 21)\}\).

Poznámka: Skúsený riešiteľ si z (1) môže všimnúť, že \(m-2\) má tvar \(3\cdot n^2\), pre nejaké prirodzené číslo \(n\). Preto pri overovaní deliteľov \(12\) stačí overiť len tie, ktoré majú požadovaný tvar: \(3\cdot 1\), \(3\cdot 2^2=12\).