10. Kultúrny Mirov Seminár vzorové riešenie



Pri funkcionálnych rovniciach a nerovnostiach veľmi často býva užitočným prvým krokom dosadiť si za argumenty funkcie nejaké konkrétne čísla a skúsiť z toho odpozorovať niečo zaujímavé. Ako kandidáti na tieto konkrétne argumenty sa ponúkajú najčastejšie čísla \(0\), \(1\) alebo \(-1\). Skúsme to využiť aj v tomto prípade.

Ak dosadíme do nerovnosti \(a=b=-1\), dostaneme \[\begin{aligned} f(-1)f(-1) + f(1) &\le -2, \nonumber \\ f(-1)^2 + f(1) &\le -2, \qquad (1) \\ f(1) &\le -2 -f(-1)^2 . \nonumber\end{aligned}\]

Môžeme si všimnúť, že \(-f(-1)^2\) je vždy záporné, a teda táto nerovnica implikuje, že \[f(1) \le -2 \qquad (2).\]

Podobne môžeme postupovať s \(a=b=1\): \[\begin{aligned} f(1)f(1) + f(1) &\le 2, \nonumber \\ f(1)^2 + f(1) &\le 2, \nonumber \\ f(1)^2 + f(1) - 2 &\le 0, \nonumber \\ (f(1) - 1)(f(1) + 2) &\le 0, \nonumber \\ f(1)\in\left<-2;1\right> \qquad (3).\end{aligned}\]

Skombinovaním (2) a (3) dostaneme, že \(f(1)=-2\). Ak sa vrátime k (1) a dosadíme hodnotu \(f(1)\), vieme získať hodnotu pre \(f(-1)\): \[\begin{aligned} f(-1)^2 + f(1) &\le -2, \\ f(-1)^2 - 2 &\le -2, \\ f(-1)^2 &\le 0, \\ f(-1) &= 0.\end{aligned}\]

Získali sme dosádzaním konkrétnych čísel nejaké informácie o hĺadaných funkciách. Pokúsme sa využiť tieto dve hodnoty v náš prospech. Chceli by sme nájsť nejaké informácie o hľadanej funkcii aj pre všeobecné argumenty. Dosaďme teda do nerovnosti \(a=x\) a \(b=1\): \[\begin{aligned} f(x)f(1) + f(x) &\le x + 1, \nonumber \\ -2f(x) + f(x) &\le x + 1, \nonumber \\ -f(x) &\le x + 1, \nonumber \\ f(x) &\ge -x - 1 \qquad (4) .\end{aligned}\]

Podobne postupujme aj pri dosadení \(a=-x\) a \(b=-1\): \[\begin{aligned} f(-x)f(-1) + f(x) &\le -x - 1, \nonumber \\ 0f(-x) + f(x) &\le -x - 1, \nonumber \\ f(x) &\le -x - 1 \qquad (5) .\end{aligned}\]

Skombinovaním (4) a (5) dostávame \(-x - 1 \le f(x) \le -x - 1\), čiže \(f(x)=-x-1\).

Zistili sme, že \(f(x)=-x-1\) je jedinou funkciou \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) takou, že \(f\) má potenciál spĺňať nerovnosť zo zadania. Už nám ostáva len overiť, či tú nerovnosť naozaj spĺňa pre všetky argumenty z \(\mathbb{R}\): \[\begin{aligned} f(a)f(b) + f(ab) &\le a+b, \nonumber \\ (-a-1)(-b-1) + (-ab-1) &\le a+b, \nonumber \\ ab + a + b + 1 - ab - 1 &\le a+b, \nonumber \\ a + b &\le a + b. \qquad (6)\end{aligned}\]

Z (6) jasne vidíme, že nerovnosť platí pre všetky možné hodnoty \(a,b\in\mathbb{R}\). Dokázali sme teda, že \(f(x)=-x-1\) je jedinou funkciou, pre ktorú platí nerovnosť zo zadania.