Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.
Ako prvé si môžeme všimnúť, že \(p^2 - 1\) je rozdiel štvorcov, a teda si to vieme upraviť na \((p - 1) \cdot (p + 1)\). Teda nám stačí ukázať, že \(24 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)\). Vieme, že číslo je deliteľné \(24\) práve vtedy, ak je deliteľné \(3\) a \(8\), keďže \(3 \cdot 8 = 24\) a zároveň \(3\) a \(8\) sú nesúdeliteľné.
Môžeme si všimnúť, že \(p - 1\) , \(p\) , \(p + 1\) sú tri po sebe idúce čísla, a teda práve jedno z nich bude deliteľné \(3\). Keďže \(p\) je prvočíslo (\(p\geq 5\)), tak nemôže byť deliteľné \(3\), teda buď \(p - 1\) alebo \(p + 1\) je deliteľné \(3\). Takže sme ukázali, že \(3 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)\).
Zároveň si môžeme všimnúť, že \(p - 1\) a \(p + 1\) sú obidve párne čísla, keďže všetky prvočísla (\(p\geq 5\)) sú nepárne. Tu sa môžeme zamyslieť a skúsiť si k pôvodnej trojici čísiel pripísať ďalšie v rade, teda dostaneme \(p - 1\), \(p\), \(p + 1\), \(p + 2\). Teraz máme \(4\) po sebe idúce čísla, z ktorých práve jedno je deliteľné 4. Vieme, že \(p\) a \(p + 2\) sú nepárne, teda buď \(p - 1\) alebo \(p + 1\) je deliteľné \(4\) a druhé z nich je deliteľné \(2\). Takže sme ukázali, že \(8 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)\).
Z čoho, podľa našej prvej úvahy, vyplýva, že \(24 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)\), a teda \(24 \mid p^2 - 1\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.